Nếu ABCD là hình bình hành thì:
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}.\)
Cho ba điểm A, B, C bất kì thì
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}\).
Quy tắc ba điểm với phép trừ vectơ:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA}\)
Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ thì
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}\).
Cho vectơ \(\vec a\) và một số thực \(k \ne 0\) ta được vectơ \(k \vec a\) có các tính chất sau:
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\vec a, \vec b\) cùng phương là có một số thực k để \(\overrightarrow a = k.\overrightarrow b\).
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Hãy nêu tên các vecto bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ.
Theo tính chất hình lăng trụ ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {B'C'} ;\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A'} }\\
{\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AC} }\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = - \overrightarrow {A'A} = - \overrightarrow {B'B} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \overrightarrow {C'C} .
\end{array}
\end{array}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {SO} \\ \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CO} = \overrightarrow {SO} \\ \Rightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} (1) \end{array}\)
Theo quy tắc hình bình hành:
\(\overrightarrow {{\rm{SB}}} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} (2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MD}\) và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho \(\overrightarrow {NB} = - 3\overrightarrow {NC}\). Chứng tỏ rằng \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN}\) đồng phẳng.
Theo giả thiết ta có:
\(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MD} \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MD}\)
và \(\overrightarrow {{\rm{NB}}} = - 3\overrightarrow {NC}\)
Mà: \(\overrightarrow {{\rm{MN}}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN}\)
và \(\overrightarrow {{\rm{MN}}} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} (1)\)
\(\Rightarrow 3\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MD} + 3\overrightarrow {DC} + 3\overrightarrow {CN} (2)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
(1) + (2) \Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MD} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BN} + 3\overrightarrow {CN}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MA} + \frac{3}{4}\overrightarrow {MD}
\end{array}
\end{array}\)
Hệ thức trên chứng tỏ:
\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN}\) đồng phẳng.
Nếu ABCD là hình bình hành thì:
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}.\)
Cho ba điểm A, B, C bất kì thì
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}\).
Quy tắc ba điểm với phép trừ vectơ:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA}\)
Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ thì
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}\).
Cho vectơ \(\vec a\) và một số thực \(k \ne 0\) ta được vectơ \(k \vec a\) có các tính chất sau:
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\vec a, \vec b\) cùng phương là có một số thực k để \(\overrightarrow a = k.\overrightarrow b\).
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Hãy nêu tên các vecto bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ.
Theo tính chất hình lăng trụ ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {B'C'} ;\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A'} }\\
{\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AC} }\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = - \overrightarrow {A'A} = - \overrightarrow {B'B} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \overrightarrow {C'C} .
\end{array}
\end{array}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {SO} \\ \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CO} = \overrightarrow {SO} \\ \Rightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} (1) \end{array}\)
Theo quy tắc hình bình hành:
\(\overrightarrow {{\rm{SB}}} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} (2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MD}\) và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho \(\overrightarrow {NB} = - 3\overrightarrow {NC}\). Chứng tỏ rằng \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN}\) đồng phẳng.
Theo giả thiết ta có:
\(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MD} \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MD}\)
và \(\overrightarrow {{\rm{NB}}} = - 3\overrightarrow {NC}\)
Mà: \(\overrightarrow {{\rm{MN}}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN}\)
và \(\overrightarrow {{\rm{MN}}} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} (1)\)
\(\Rightarrow 3\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MD} + 3\overrightarrow {DC} + 3\overrightarrow {CN} (2)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
(1) + (2) \Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MD} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BN} + 3\overrightarrow {CN}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MA} + \frac{3}{4}\overrightarrow {MD}
\end{array}
\end{array}\)
Hệ thức trên chứng tỏ:
\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN}\) đồng phẳng.