Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0o.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q):
\((P) \cap \left( Q \right) = c\)
Lấy I bất kì thuộc c.
Trong (P) qua I kẻ \(a \bot c\).
Trong (Q) qua I kẻ \(b \bot c\).
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q), \(\varphi\) là góc giữa (P) và (Q) ta có: \(S'=S.\cos \varphi\).
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o.
\(\left\{ \begin{array}{l} a \bot mp(P)\\ a \subset mp(Q) \end{array} \right. \Rightarrow mp(Q) \bot mp(P)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = d\\ a \subset (P),a \bot d \end{array} \right. \Rightarrow a \bot (Q)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ A \in (P)\\ A \in a\\ a \bot (Q) \end{array} \right. \Rightarrow a \subset (P)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (Q) = a\\ (P) \bot (R)\\ (Q) \bot (R) \end{array} \right. \Rightarrow a \bot (R)\)
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.
Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Nhận xét: Trong hình hộp đứng bốn mặt bên đều là hình chữ nhật.
Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Nhận xét:
Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
Nhận xét:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C).
Kẻ \(BH \bot A'C,{\rm{ (H}} \in {\rm{A'C)}}\) (1).
Mặt khác: \(BD \bot AC{\rm{ (gt)}}\)
\(AA' \bot (ABCD) \Rightarrow AA' \bot BD{\rm{ }}\)
\(\Rightarrow BD \bot (ACA') \Rightarrow BD \bot A'C\) (2)
Từ (1) (2) suy ra:
\(A'C \bot (BDH) \Rightarrow A'C \bot DH\)
Do đó: \((\widehat {(BA'C),(DA'C)}) = (\widehat {HB,HD})\)
Xét tam giác BCA' ta có:
\(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{BA{'^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}}\)
\(\Rightarrow BH = a.\sqrt {\frac{2}{3}} \Rightarrow DH = a.\sqrt {\frac{2}{3}}\)
Ta có:
\(\cos \widehat {BHD} = \frac{{2B{H^2} - B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = - \frac{1}{2} \)
\(\Rightarrow \widehat {BHD} = {120^0}>90^0\)
Vậy: \(\widehat {((BA'C),(DA'C))} =180^0-120^0= {60^0}.\)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân \(AB = AC = a\), \(\widehat {BAC} = {120^0}\), \(BB’ = a\), I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Theo công thức hình chiếu: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}}\).
Ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(AB' = \sqrt {A{B^2} + BB{'^2}} = a\sqrt 2\)
\(IB' = \sqrt {B'C{'^2} + IC{'^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên \({S_{AB'I}} = \frac{1}{2}.AB'.AI = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).
Vậy: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} .\)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, \(SA=SC\). Chứng minh rằng: \((SBD) \bot (ABCD).\)
Ta có: \(AC \bot BD\) (1) (giả thiết).
Mặt khác, \(SO \bot AC\) (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác).
Từ (1) và (2) suy ra: \(AC \bot (SBD)\) mà \(AC \subset (ABCD)\) nên \((SBD) \bot (ABCD).\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB=a\), \(AD = a\sqrt 2\), \(SA \bot (ABCD)\). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: \((SAC) \bot (SMB).\)
Ta có: \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BM\,\,{\rm{ (1)}}\).
Xét tam giác vuông ABM có:
\(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}} = \sqrt 2\).
Xét tam giác vuông ACD có:
\(\tan \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\cot \widehat {AIM} = \cot ({{180}^0} - (\widehat {AMB} + \widehat {CAD}))}\\
\begin{array}{l}
= \cot (\widehat {AMB} + \widehat {CAD}) = 0\\
\Rightarrow \widehat {AIM} = {90^0}
\end{array}
\end{array}\)
Hay \(BM \bot AC\,\,{\rm{ (2)}}\).
Từ (1) và (2) suy ra: \(BM \bot (SAC)\) mà \(BM \subset (SAC)\) nên \((SAC) \bot (SMB).\)
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0o.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q):
\((P) \cap \left( Q \right) = c\)
Lấy I bất kì thuộc c.
Trong (P) qua I kẻ \(a \bot c\).
Trong (Q) qua I kẻ \(b \bot c\).
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q), \(\varphi\) là góc giữa (P) và (Q) ta có: \(S'=S.\cos \varphi\).
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o.
\(\left\{ \begin{array}{l} a \bot mp(P)\\ a \subset mp(Q) \end{array} \right. \Rightarrow mp(Q) \bot mp(P)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = d\\ a \subset (P),a \bot d \end{array} \right. \Rightarrow a \bot (Q)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ A \in (P)\\ A \in a\\ a \bot (Q) \end{array} \right. \Rightarrow a \subset (P)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (Q) = a\\ (P) \bot (R)\\ (Q) \bot (R) \end{array} \right. \Rightarrow a \bot (R)\)
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.
Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Nhận xét: Trong hình hộp đứng bốn mặt bên đều là hình chữ nhật.
Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Nhận xét:
Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
Nhận xét:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C).
Kẻ \(BH \bot A'C,{\rm{ (H}} \in {\rm{A'C)}}\) (1).
Mặt khác: \(BD \bot AC{\rm{ (gt)}}\)
\(AA' \bot (ABCD) \Rightarrow AA' \bot BD{\rm{ }}\)
\(\Rightarrow BD \bot (ACA') \Rightarrow BD \bot A'C\) (2)
Từ (1) (2) suy ra:
\(A'C \bot (BDH) \Rightarrow A'C \bot DH\)
Do đó: \((\widehat {(BA'C),(DA'C)}) = (\widehat {HB,HD})\)
Xét tam giác BCA' ta có:
\(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{BA{'^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}}\)
\(\Rightarrow BH = a.\sqrt {\frac{2}{3}} \Rightarrow DH = a.\sqrt {\frac{2}{3}}\)
Ta có:
\(\cos \widehat {BHD} = \frac{{2B{H^2} - B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = - \frac{1}{2} \)
\(\Rightarrow \widehat {BHD} = {120^0}>90^0\)
Vậy: \(\widehat {((BA'C),(DA'C))} =180^0-120^0= {60^0}.\)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân \(AB = AC = a\), \(\widehat {BAC} = {120^0}\), \(BB’ = a\), I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Theo công thức hình chiếu: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}}\).
Ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(AB' = \sqrt {A{B^2} + BB{'^2}} = a\sqrt 2\)
\(IB' = \sqrt {B'C{'^2} + IC{'^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên \({S_{AB'I}} = \frac{1}{2}.AB'.AI = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).
Vậy: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} .\)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, \(SA=SC\). Chứng minh rằng: \((SBD) \bot (ABCD).\)
Ta có: \(AC \bot BD\) (1) (giả thiết).
Mặt khác, \(SO \bot AC\) (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác).
Từ (1) và (2) suy ra: \(AC \bot (SBD)\) mà \(AC \subset (ABCD)\) nên \((SBD) \bot (ABCD).\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB=a\), \(AD = a\sqrt 2\), \(SA \bot (ABCD)\). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: \((SAC) \bot (SMB).\)
Ta có: \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BM\,\,{\rm{ (1)}}\).
Xét tam giác vuông ABM có:
\(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}} = \sqrt 2\).
Xét tam giác vuông ACD có:
\(\tan \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\cot \widehat {AIM} = \cot ({{180}^0} - (\widehat {AMB} + \widehat {CAD}))}\\
\begin{array}{l}
= \cot (\widehat {AMB} + \widehat {CAD}) = 0\\
\Rightarrow \widehat {AIM} = {90^0}
\end{array}
\end{array}\)
Hay \(BM \bot AC\,\,{\rm{ (2)}}\).
Từ (1) và (2) suy ra: \(BM \bot (SAC)\) mà \(BM \subset (SAC)\) nên \((SAC) \bot (SMB).\)