Ôn tập chương 5 Đạo hàm

Hình 1: Hệ thống kiến thức chương đạo hàm

BẢNG 1: CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM LỚP 11

3. Bài tập Ôn tập

Ví dụ 1:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 4\)                         

b) \(y = \sin x - \cos x + \tan x\)

c) \(y = {x^4} + 2\sqrt x \)                                   

d) \(y = \cot x - 3x + 2\)

Hướng dẫn:

a) \(y' = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x + 4} \right)'\)

\(= 3{x^2} - 4x + 3\)

b) \(y' = \left( {\sin x - \cos x + \tan x} \right)' \)

\(= \cos x + \sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

c) \(y' = \left( {{x^4} + 2\sqrt x } \right)' = 4{x^3} + \frac{1}{{\sqrt x }}\)

d) \(y' = \left( {\cot x - 3x + 2} \right)' =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 3\)

Ví dụ 2:

Tính đạo hàm các hàm số tại các điểm tương ứng 

a) \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1\) tại \({x_0} =  - 1\)

b) \(y = \sin 2x + \cos x\) tại \({x_0} =  - \frac{\pi }{4}\)

c) \(y = \sqrt x  - 2x\) tại \({x_0} = 2\)

Hướng dẫn:

a) \({y' = {{\left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1} \right)}^\prime }}\)

\(\begin{array}{l}
 =  - 3{x^2} + 6x - 4\\
 \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) =  - 3 - 6 - 4 =  - 13
\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y' = {{\left( {\sin 2x + \cos x} \right)}^\prime } = 2\cos 2x - \sin x}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow y'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}
\end{array}\)

c) \({y' = {{\left( {\sqrt x  - 2x} \right)}^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }} - 2}\)

\({ \Rightarrow y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - 2 = \frac{{1 - 4\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}}\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm các hàm số 

\(\begin{array}{l}
{\rm{a) }}\,y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}\\
{\rm{b) }}\,y = \sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)\\
{\rm{c) }}\,y = \sqrt {{x^2} + 4x + 1} \\
{\rm{d) }}\,y = \tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn:

a) \({\rm{ }}y' = \left( {\frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}} \right)' \)

\(= \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

b) \(y' = \left( {\sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)} \right)' \)

\(= 2\cos \left( {2x + 1} \right) + \sin \left( {1 - x} \right)\)

c) \(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 4x + 1} } \right)' = \frac{{2x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }} \)

\(= \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }}\)

d) \(y' = {\left( {\tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)} \right)^\prime }\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}^\prime }}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{2x + \frac{1}{{\sqrt x }}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}}\\
{ = \frac{{2x\sqrt x  + 1}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}}
\end{array}\)

Ví dụ 4:

Chứng minh \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\) với \(y = \cot 2x\)

Hướng dẫn:

Ta có \(y' =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)

Khi đó:

\(y' + 2{y^2} + 2 =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}} + \frac{{2{{\cos }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} + 2 \)

\(= \frac{{ - 2 + 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x}} = 0\) (đpcm)

Hình 1: Hệ thống kiến thức chương đạo hàm

BẢNG 1: CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM LỚP 11

3. Bài tập Ôn tập

Ví dụ 1:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 4\)                         

b) \(y = \sin x - \cos x + \tan x\)

c) \(y = {x^4} + 2\sqrt x \)                                   

d) \(y = \cot x - 3x + 2\)

Hướng dẫn:

a) \(y' = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x + 4} \right)'\)

\(= 3{x^2} - 4x + 3\)

b) \(y' = \left( {\sin x - \cos x + \tan x} \right)' \)

\(= \cos x + \sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

c) \(y' = \left( {{x^4} + 2\sqrt x } \right)' = 4{x^3} + \frac{1}{{\sqrt x }}\)

d) \(y' = \left( {\cot x - 3x + 2} \right)' =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 3\)

Ví dụ 2:

Tính đạo hàm các hàm số tại các điểm tương ứng 

a) \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1\) tại \({x_0} =  - 1\)

b) \(y = \sin 2x + \cos x\) tại \({x_0} =  - \frac{\pi }{4}\)

c) \(y = \sqrt x  - 2x\) tại \({x_0} = 2\)

Hướng dẫn:

a) \({y' = {{\left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1} \right)}^\prime }}\)

\(\begin{array}{l}
 =  - 3{x^2} + 6x - 4\\
 \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) =  - 3 - 6 - 4 =  - 13
\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y' = {{\left( {\sin 2x + \cos x} \right)}^\prime } = 2\cos 2x - \sin x}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow y'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}
\end{array}\)

c) \({y' = {{\left( {\sqrt x  - 2x} \right)}^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }} - 2}\)

\({ \Rightarrow y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - 2 = \frac{{1 - 4\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}}\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm các hàm số 

\(\begin{array}{l}
{\rm{a) }}\,y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}\\
{\rm{b) }}\,y = \sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)\\
{\rm{c) }}\,y = \sqrt {{x^2} + 4x + 1} \\
{\rm{d) }}\,y = \tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn:

a) \({\rm{ }}y' = \left( {\frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}} \right)' \)

\(= \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

b) \(y' = \left( {\sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)} \right)' \)

\(= 2\cos \left( {2x + 1} \right) + \sin \left( {1 - x} \right)\)

c) \(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 4x + 1} } \right)' = \frac{{2x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }} \)

\(= \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }}\)

d) \(y' = {\left( {\tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)} \right)^\prime }\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}^\prime }}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{2x + \frac{1}{{\sqrt x }}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}}\\
{ = \frac{{2x\sqrt x  + 1}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}}
\end{array}\)

Ví dụ 4:

Chứng minh \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\) với \(y = \cot 2x\)

Hướng dẫn:

Ta có \(y' =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)

Khi đó:

\(y' + 2{y^2} + 2 =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}} + \frac{{2{{\cos }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} + 2 \)

\(= \frac{{ - 2 + 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x}} = 0\) (đpcm)