Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)
Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm số trên (a;b).
Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x.
Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\)
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu:
\(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\)
và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\)
\({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\)
Đạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t.
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {(2x - 3)^5}.\)
b) \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).
c) \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
a) Ta có:
\(f'(x) =\left [ \left ( 2x-3 \right )^5 \right ]'\)
\(= 5.(2x - 3)'{(2x - 3)^4} = 10{(2x - 3)^4}.\)
\(f''(x) = \left[ {10{{\left( {2x - 3} \right)}^4}} \right]'\)
\(= 10.4.(2x - 3)'(2x - 3) = 80{(2x - 3)^3}.\)
b) Ta có:
\(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{x}\)
\(f'(x) = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
\(f''(x) = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}.\)
c) Ta có: \(f'(x) = \left( {x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)' \)
\(= \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f''(x) = {{\left[ {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]}^\prime }}\\
{ = \frac{{{{(2{x^2} + 1)}^\prime }\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right){{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}}
\end{array}}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{ = \frac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}}\\
{ = \frac{{4x({x^2} + 1) - x(2{x^2} + 1)}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}.}
\end{array}}
\end{array}\)
Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)
Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm số trên (a;b).
Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x.
Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\)
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu:
\(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\)
và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\)
\({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\)
Đạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t.
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {(2x - 3)^5}.\)
b) \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).
c) \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
a) Ta có:
\(f'(x) =\left [ \left ( 2x-3 \right )^5 \right ]'\)
\(= 5.(2x - 3)'{(2x - 3)^4} = 10{(2x - 3)^4}.\)
\(f''(x) = \left[ {10{{\left( {2x - 3} \right)}^4}} \right]'\)
\(= 10.4.(2x - 3)'(2x - 3) = 80{(2x - 3)^3}.\)
b) Ta có:
\(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{x}\)
\(f'(x) = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
\(f''(x) = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}.\)
c) Ta có: \(f'(x) = \left( {x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)' \)
\(= \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f''(x) = {{\left[ {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]}^\prime }}\\
{ = \frac{{{{(2{x^2} + 1)}^\prime }\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right){{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}}
\end{array}}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{ = \frac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}}\\
{ = \frac{{4x({x^2} + 1) - x(2{x^2} + 1)}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}.}
\end{array}}
\end{array}\)