Ôn tập cuối năm Phần Đại số và Giải tích

1. Phần đại số

a) Hàm số lượng giác

- Hàm số lượng giác: Hàm số sin, hàm số cos, hàm số tang, hàm số cotang.

- Phương trình lượng giác:

+ Phương trình lượng giác cơ bản theo sin, cos, tan, cot.

+ Các dạng phương trình lượng giác thường gặp:

• Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số.
• Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
• Phương trình chứa tổng (hay hiêu) và tích của sin và cos.
• Phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\).

b) Tổ hợp và xác suất

- Quy tắc đếm: Quy tắc nhân, quy tắc cộng.

- Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

- Nhị thức Newton.

- Lý thuyết cơ bản về xác suất:

+ Phép thử và biến cố.

+ Xác suất của biến cố.

c) Dãy số

- Phương pháp quy nạp toán học.

- Dãy số: Khái niệm dãy số, cách cho một dãy số, dãy số tăng-dãy số giảm-dãy số bị chặn.

- Cấp số cộng: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.

- Cấp số nhân: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.

2. Phần Giải tích

a) Giới hạn

- Giới hạn của dãy số: 

+ Giới hạn hữu han.

+ Giới hạn vô cực,.

+ Các giới hạn đặc biệt.

+ Định lý về giới hạn hữu hạn.

+ Liên hệ giữa giới hạn hữu han và vô cực.

+ Cấp số nhân lùi vô hạn.

- Giới hạn của hàm số:

+ Giới hạn hữu hạn.

+ Giới hạn vô cực.

+ Các giới hạn đặc biệt.

+ Các định lý về giới hạn hữu hạn.

+ Các quy tắc tính giới hạn vô cực.

- Hàm số liên tục:

+ Hàm số liên tục.

+ Các định lý liên quan.

b) Đạo hàm

- Các lý thuyết về đạo hàm:

+ Định nghĩa.

+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa.

+ Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm.

+ Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

+ Ý nghĩa vật lý của đạo hàm.

- Các quy tắc tính đạo hàm:

+ Các quy tắc tính đạo hàm.

+ Các công thức tính đạo hàm hàm số cơ bản.

+ Đạo hàm của hàm số lượng giác.

- Vi phân.

3. Bài tập Ôn tập

Bài tập 1: 

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}} = \lim \frac{{n(2 - \frac{1}{n})}}{{n(3 + \frac{2}{n})}}\)\(= \lim \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}}= \frac{2}{3}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} }}{{2x - 1}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 - \frac{1}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{x}}} =  - \frac{1}{2}\)

Bài tập 2: 

a) Cho hàm số 

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}}{\rm{ ,khi }}x \ne 2\\ 2m - 1{\rm{ ,khi }}x = 2. \end{array} \right.\)

Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại \(x = 2\).

b) Chứng minh rằng phương trình

\((5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} \)

\(+ (1 - 2{m^2})x - 1 = 0\) luôn có nghiệm x trong khoảng \((0;1)\) với mọi giá trị m thuộc \(\mathbb{R}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f(2)=2m-1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 1)(x - 2)}}{{x - 2}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 1) = 5.\)

Để f(x) liên tục tại \(x=2\) thì 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\)\(\Leftrightarrow 2m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3.\)

Vậy \(m=3\) là giá trị cần tìm.

b) Đặt \(f(x) = (5{m^4} + 1){x^3} \)

\(+ (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1\)

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(x) liên tục trên đoạn [0;1].

Ta có: \(f(0) = - 1 < 0;\)

\(f(1) = 5{m^4} - 6{m^2} + 2\)

Mà: \(5{m^4} - 6{m^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) (tam thức bậc hai theo \(t=m^2\)).

Do đó: \(f(0).f(1) < 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)

Bài tập 3: 

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x.\cos x\) và \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} .\)

b) Cho hàm số \(y = {x^3} - 5x + 3\)có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7. 

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = {\left( {x.\cos x} \right)^\prime } \)

\(= {(x)^\prime }.\cos x + x.{(\cos x)^\prime }\)

\( = \cos x - x.\sin x.\)

\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 3x} } \right)' = \frac{{({x^2} - 3x)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}= \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\).

b) Gọi d là tiếp tuyến thỏa đề,\(M({x_0};{y_0})\) là tiếp điểm của d và (C).

Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng: 

\(y = y'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}.\)

Theo đề bài hệ số góc bằng 7 nên ta có:

\(y'({x_0}) = 7 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 5 = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = - 2 \end{array} \right.\)

+ Với \(x_0=2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x - 13.\)

+ Với \(x_0=-2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x + 19.\)

Bài tập 4: 

Cho hàm số \(y = \sin 2x.\) Chứng minh \(y'\,'\,\, + \,\,4y = 0\).

Hướng dẫn giải:

\(y' = {(\sin 2x)'} = \cos 2x.(2x)'=2. \cos 2x.\)

\(y'' = (2.\cos 2x)' = 2.( - \sin 2x).(2x)' \)

\(= - 4\sin 2x.\)

Suy ra: 

\(y'' + 4y = - 4.\sin 2x + 4.\sin 2x = 0\) 

(đpcm).

1. Phần đại số

a) Hàm số lượng giác

- Hàm số lượng giác: Hàm số sin, hàm số cos, hàm số tang, hàm số cotang.

- Phương trình lượng giác:

+ Phương trình lượng giác cơ bản theo sin, cos, tan, cot.

+ Các dạng phương trình lượng giác thường gặp:

• Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số.
• Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
• Phương trình chứa tổng (hay hiêu) và tích của sin và cos.
• Phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\).

b) Tổ hợp và xác suất

- Quy tắc đếm: Quy tắc nhân, quy tắc cộng.

- Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

- Nhị thức Newton.

- Lý thuyết cơ bản về xác suất:

+ Phép thử và biến cố.

+ Xác suất của biến cố.

c) Dãy số

- Phương pháp quy nạp toán học.

- Dãy số: Khái niệm dãy số, cách cho một dãy số, dãy số tăng-dãy số giảm-dãy số bị chặn.

- Cấp số cộng: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.

- Cấp số nhân: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.

2. Phần Giải tích

a) Giới hạn

- Giới hạn của dãy số: 

+ Giới hạn hữu han.

+ Giới hạn vô cực,.

+ Các giới hạn đặc biệt.

+ Định lý về giới hạn hữu hạn.

+ Liên hệ giữa giới hạn hữu han và vô cực.

+ Cấp số nhân lùi vô hạn.

- Giới hạn của hàm số:

+ Giới hạn hữu hạn.

+ Giới hạn vô cực.

+ Các giới hạn đặc biệt.

+ Các định lý về giới hạn hữu hạn.

+ Các quy tắc tính giới hạn vô cực.

- Hàm số liên tục:

+ Hàm số liên tục.

+ Các định lý liên quan.

b) Đạo hàm

- Các lý thuyết về đạo hàm:

+ Định nghĩa.

+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa.

+ Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm.

+ Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

+ Ý nghĩa vật lý của đạo hàm.

- Các quy tắc tính đạo hàm:

+ Các quy tắc tính đạo hàm.

+ Các công thức tính đạo hàm hàm số cơ bản.

+ Đạo hàm của hàm số lượng giác.

- Vi phân.

3. Bài tập Ôn tập

Bài tập 1: 

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}} = \lim \frac{{n(2 - \frac{1}{n})}}{{n(3 + \frac{2}{n})}}\)\(= \lim \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}}= \frac{2}{3}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} }}{{2x - 1}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 - \frac{1}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{x}}} =  - \frac{1}{2}\)

Bài tập 2: 

a) Cho hàm số 

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}}{\rm{ ,khi }}x \ne 2\\ 2m - 1{\rm{ ,khi }}x = 2. \end{array} \right.\)

Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại \(x = 2\).

b) Chứng minh rằng phương trình

\((5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} \)

\(+ (1 - 2{m^2})x - 1 = 0\) luôn có nghiệm x trong khoảng \((0;1)\) với mọi giá trị m thuộc \(\mathbb{R}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f(2)=2m-1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 1)(x - 2)}}{{x - 2}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 1) = 5.\)

Để f(x) liên tục tại \(x=2\) thì 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\)\(\Leftrightarrow 2m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3.\)

Vậy \(m=3\) là giá trị cần tìm.

b) Đặt \(f(x) = (5{m^4} + 1){x^3} \)

\(+ (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1\)

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(x) liên tục trên đoạn [0;1].

Ta có: \(f(0) = - 1 < 0;\)

\(f(1) = 5{m^4} - 6{m^2} + 2\)

Mà: \(5{m^4} - 6{m^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) (tam thức bậc hai theo \(t=m^2\)).

Do đó: \(f(0).f(1) < 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)

Bài tập 3: 

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x.\cos x\) và \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} .\)

b) Cho hàm số \(y = {x^3} - 5x + 3\)có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7. 

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = {\left( {x.\cos x} \right)^\prime } \)

\(= {(x)^\prime }.\cos x + x.{(\cos x)^\prime }\)

\( = \cos x - x.\sin x.\)

\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 3x} } \right)' = \frac{{({x^2} - 3x)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}= \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\).

b) Gọi d là tiếp tuyến thỏa đề,\(M({x_0};{y_0})\) là tiếp điểm của d và (C).

Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng: 

\(y = y'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}.\)

Theo đề bài hệ số góc bằng 7 nên ta có:

\(y'({x_0}) = 7 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 5 = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = - 2 \end{array} \right.\)

+ Với \(x_0=2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x - 13.\)

+ Với \(x_0=-2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x + 19.\)

Bài tập 4: 

Cho hàm số \(y = \sin 2x.\) Chứng minh \(y'\,'\,\, + \,\,4y = 0\).

Hướng dẫn giải:

\(y' = {(\sin 2x)'} = \cos 2x.(2x)'=2. \cos 2x.\)

\(y'' = (2.\cos 2x)' = 2.( - \sin 2x).(2x)' \)

\(= - 4\sin 2x.\)

Suy ra: 

\(y'' + 4y = - 4.\sin 2x + 4.\sin 2x = 0\) 

(đpcm).