Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

a) Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên: 

+ Xét chiều biến thiên của hàm số:

• Tính đạo hàm \(f'(x)\). 
• Tìm các điểm mà tại đó \(f'(x)=0\) hoặc không xác định.
•  Xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tính các giới hạn \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y,\lim_{x\rightarrow -\infty }y\) và các giới hạn có kết quả là vô cực (\(= \pm \infty\)), tìm các đường tiệm cận (nếu có)

- Bước 3: Vẽ đồ thị

+ Xác định các điểm đặc biệt: giao với Ox, Oy điểm có tọa độ nguyên.

+ Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

b) Chú ý

- Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0,f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f''(x_0)=0\) làm tâm đối xứng.

- Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

- Đồ thị hàm số lẻ nhận \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng.

- Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\)

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\)

c) Các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;(c \ne 0,\;ad - bc \ne 0)\)

3. Bài tập về Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 1:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

\(y'=3x^2-6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)

Bảng biến thiên: 

Vậy:

- Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) 

và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

- Hàm số nghịch biến trên \((0;2).\)

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0; giá trị cực đại là y = 2.

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; giá trị cực tiểu là y = -2.

\(y''=6x-6\)

​\(y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0\)

Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) làm tâm đối xứng.

Cho: \(x = - 1 \Rightarrow y = - 2;x = 3 \Rightarrow y = 2\)

Đồ thị hàm số:

Ví dụ 2:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

\(y' = - 4{x^3} + 4x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)

Bảng biến thiên:

Vậy:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

- Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1; giá trị cực đại y = 2.

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; giá trị cực tiểu y = 1.

- Đồ thị hàm số nhậc trục Oy là trục đối xứng.

\(y = 0 \Leftrightarrow  - {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0 \)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} = 1 + \sqrt 2 }\\
{{x^2} = 1 - \sqrt 2 (L)}
\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow x =  \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \)

Đồ thị hàm số:

Ví dụ 3:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Lời giải: 

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0\)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;1);(1;+\infty )\)

Hàm số không có cực trị.

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên: 

Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng.

Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = - 1;y = 0 \Rightarrow x = - 1\).

Đồ thị hàm số:

a) Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên: 

+ Xét chiều biến thiên của hàm số:

• Tính đạo hàm \(f'(x)\). 
• Tìm các điểm mà tại đó \(f'(x)=0\) hoặc không xác định.
•  Xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tính các giới hạn \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y,\lim_{x\rightarrow -\infty }y\) và các giới hạn có kết quả là vô cực (\(= \pm \infty\)), tìm các đường tiệm cận (nếu có)

- Bước 3: Vẽ đồ thị

+ Xác định các điểm đặc biệt: giao với Ox, Oy điểm có tọa độ nguyên.

+ Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

b) Chú ý

- Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0,f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f''(x_0)=0\) làm tâm đối xứng.

- Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

- Đồ thị hàm số lẻ nhận \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng.

- Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\)

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\)

c) Các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;(c \ne 0,\;ad - bc \ne 0)\)

3. Bài tập về Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 1:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

\(y'=3x^2-6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)

Bảng biến thiên: 

Vậy:

- Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) 

và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

- Hàm số nghịch biến trên \((0;2).\)

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0; giá trị cực đại là y = 2.

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; giá trị cực tiểu là y = -2.

\(y''=6x-6\)

​\(y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0\)

Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) làm tâm đối xứng.

Cho: \(x = - 1 \Rightarrow y = - 2;x = 3 \Rightarrow y = 2\)

Đồ thị hàm số:

Ví dụ 2:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

\(y' = - 4{x^3} + 4x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)

Bảng biến thiên:

Vậy:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

- Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1; giá trị cực đại y = 2.

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; giá trị cực tiểu y = 1.

- Đồ thị hàm số nhậc trục Oy là trục đối xứng.

\(y = 0 \Leftrightarrow  - {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0 \)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} = 1 + \sqrt 2 }\\
{{x^2} = 1 - \sqrt 2 (L)}
\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow x =  \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \)

Đồ thị hàm số:

Ví dụ 3:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Lời giải: 

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0\)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;1);(1;+\infty )\)

Hàm số không có cực trị.

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên: 

Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng.

Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = - 1;y = 0 \Rightarrow x = - 1\).

Đồ thị hàm số: