Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.

• Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).
• Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
• Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
• Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
• Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

• Bước 1: Tìm tập xác định
• Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y'=3x^2-6x+3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

Xét hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y'=4x^3-4x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Kết luận:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {- \infty;-1 } \right)\) và \((0;1).\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Xét hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall \ne 1\)

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( { 1;+ \infty } \right)\).

Ví dụ 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

Xét hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = 3{x^2} + 6x + m\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 - 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\).

Kết luận: với \(m\geq 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).

Lời giải:

Xét hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\).

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = 6{x^2} - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\)

\(\Delta = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + m) = 1 > 0\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\)

Hàm số đồng biến trong các khoảng \(( - \infty ;m),\,\,(m + 1; + \infty )\).

Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\) khi \(m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\)

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.

• Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).
• Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
• Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
• Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
• Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

• Bước 1: Tìm tập xác định
• Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y'=3x^2-6x+3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

Xét hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y'=4x^3-4x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Kết luận:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {- \infty;-1 } \right)\) và \((0;1).\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Xét hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall \ne 1\)

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( { 1;+ \infty } \right)\).

Ví dụ 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

Xét hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = 3{x^2} + 6x + m\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 - 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\).

Kết luận: với \(m\geq 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).

Lời giải:

Xét hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\).

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = 6{x^2} - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\)

\(\Delta = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + m) = 1 > 0\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\)

Hàm số đồng biến trong các khoảng \(( - \infty ;m),\,\,(m + 1; + \infty )\).

Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\) khi \(m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\)