Bài 4: Đường tiệm cận

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
•  \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)

b) Chú ý

+ Điều kiện để đồ thị hàm số \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) có tiệm cận ngang là bậc của đa thức P(x) bé hơn hoặc bằng bậc của đa thức Q(x).

+ Tổng quát: Xét hàm số \(y = \frac{a_nx^n + ... + a_0}{b_mx^m + ... + b_0} \) 

\(m, n \in N; a_n\neq 0; b_m\neq 0\). 

• Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang là \(n\leq m.\)
• Nếu \(n=m\): tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a_n}{b_m}\)
• Nếu \(n < m\): tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0.

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
• \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

b) Chú ý

• Đường thẳng \(x=a\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = f(x)\) thì a không thuộc tập xác định của \(f(x)\).
• Đối với hàm phân thức \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) thì a là nghiệm Q(x)=0.

4. Bài toán Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ 1:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Lời giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)

Ta có: 

​\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)

Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)

Vậy đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Ví dụ 2:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)

Lời giải: 

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)​

Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)

Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ví dụ 3:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Lời giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)​

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - 1\)

Suy ra đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)

Suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)

Suy ra đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ví dụ 4:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}}\).

Lời giải: 

Ta có:

\(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)

Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R = 1.

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
•  \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)

b) Chú ý

+ Điều kiện để đồ thị hàm số \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) có tiệm cận ngang là bậc của đa thức P(x) bé hơn hoặc bằng bậc của đa thức Q(x).

+ Tổng quát: Xét hàm số \(y = \frac{a_nx^n + ... + a_0}{b_mx^m + ... + b_0} \) 

\(m, n \in N; a_n\neq 0; b_m\neq 0\). 

• Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang là \(n\leq m.\)
• Nếu \(n=m\): tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a_n}{b_m}\)
• Nếu \(n < m\): tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0.

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
• \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

b) Chú ý

• Đường thẳng \(x=a\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = f(x)\) thì a không thuộc tập xác định của \(f(x)\).
• Đối với hàm phân thức \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) thì a là nghiệm Q(x)=0.

4. Bài toán Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ 1:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Lời giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)

Ta có: 

​\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)

Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)

Vậy đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Ví dụ 2:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)

Lời giải: 

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)​

Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)

Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ví dụ 3:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Lời giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)​

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - 1\)

Suy ra đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)

Suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)

Suy ra đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ví dụ 4:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}}\).

Lời giải: 

Ta có:

\(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)

Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R = 1.

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.