Lý thuyết Bội chung và bội chung nhỏ nhất Toán 6 Cánh diều

1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

a) Định nghĩa

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

+) \(BC\left( {a;b} \right)\) là tập hợp các bội chung của \(a\) và \(b\).

+) \(BCNN\left( {a,b} \right)\) là bội chung nhỏ nhất của \(a\) và \(b\).

Ví dụ:

Đặt \(B\left( k \right)\)là bội của số \(k\)

\(B\left( 3 \right) = \left\{ {0;3;6;9;12;...} \right\}\); \(B\left( 2 \right) = \left\{ {0;2;4;6;8;10;12;...} \right\}\)

Nên \(BC\left( {2;3} \right) = \left\{ {0;6;12;...} \right\}\)

Số lớn nhất khác 0 trong các bội chung trên là 6 nên \(BCNN\left( {2,3} \right) = 6\).

Nhận xét:

+) \(x \in BC\left( {a;b} \right)\) nếu \(x \vdots a\) và \(x \vdots b\)

+) \(x \in BC\left( {a;b;c} \right)\) nếu \(x \vdots a\); \(x \vdots b\)  và \(x \vdots c\)

Chú ý:

Ta chỉ xét bội chung của các số khác 0.

b) Cách tìm bội chung nhỏ nhất trong các trường hợp đặc biệt

Nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho là số lớn nhất đó.

Nếu \(a \vdots b\) thì \(BCNN\left( {a,b} \right) = a\)

Với mọi số tự nhiên a và b ta có:

\(BCNN\left( {a,1} \right) = a;\)\(BCNN\left( {a,b,1} \right) = BCNN\left( {a,b} \right)\)

Ví dụ:

Bội chung nhỏ nhất của 12 và 36 là 12 vì \(36 \vdots 12\).

2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất - BCNN

a) Tìm BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Ví dụ: Tìm BCNN của \(15\) và \(20.\)

Ta có \(15 = 3.5;20 = {2^2}.5\)

Nên \(BCNN\left( {15;20} \right) = {2^2}.3.5 = 60.\)

b) Cách tìm bội chung thông qua bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ví dụ: \(BCNN\left( {15;20} \right) = 60\) nên \(BC\left( {15;20} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;60;120;...} \right\}\)

3. Ứng dụng bội chung nhỏ nhất vào cộng, trừ các phân số không cùng mẫu

Tìm mẫu chung của hai phân số:

Cách 1: Chọn mẫu chung cho hai phân số là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu số đó.

Cách 2: Chọn bội chung bất kì khác 0 của 2 mẫu số đó.

Ví dụ:Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{7}{{30}}\) và \(\frac{5}{{42}}\)

\(\begin{array}{l}30 = 2.3.5\\42 = 2.3.7\end{array}\)

\[ \Rightarrow BCNN\left( {30,42} \right) = 2.3.5.7 = 210\]

+) Cách 1: Chọn mẫu chung là 210. Ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{7}{{30}} = \frac{{7.7}}{{210}} = \frac{{49}}{{210}}\\\frac{5}{{42}} = \frac{{5.5}}{{42.5}} = \frac{{25}}{{210}}\end{array}\)

+) Cách 2: Chọn mẫu chung là một bội chung bất kì khác 0 của 30 và 42. Chẳng hạn 420, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{7}{{30}} = \frac{{7.14}}{{30.14}} = \frac{{98}}{{420}}\\\frac{5}{{42}} = \frac{{5.10}}{{42.10}} = \frac{{50}}{{420}}\end{array}\)