Giải mục 2 trang 27, 28 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\). 

Lời giải chi tiết

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =  - 6{x^2} + 6x - 5 =  - 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{7}{2} \le  - \frac{7}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  - \infty \)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: 

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\) với trục tung là \(\left( {0;0} \right)\).

Ta có: \( - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow  - x\left( {2{x^2} - 3x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Điểm \(\left( {1; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)\).