Giải mục 1 trang 77, 78 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

a) Cho đoạn thẳng \(AB\) và điểm \(O\). Kẻ các tia \(OA,OB\). Trên tia \(OA,OB\) lần lượt lấy các điểm \(A',B'\) sao cho \(OA' = 3OA,OB' = 3OB\) (ình 1a).

i) \(A'B'\) có song song với \(AB\) không.

ii) Tính tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{AB}}\).

b) Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(O\). Kẻ các tia \(OA,OB,OC\). Trên tia \(OA,OB,OC\) lần lượt lấy các điểm \(A',B',C'\) sao cho \(OA' = 3OA,OB' = 3OB,OC' = 3OC\) (Hình 1b).

i) Tính và so sánh các tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{AB}},\frac{{A'C'}}{{AC}},\frac{{B'C'}}{{BC}}\).

ii) Chứng minh tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí Thales đảo;

- Sử dụng hệ quả của định lí Thales;

- Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác (c.c.c)

Lời giải chi tiết:

a)

i) Vì \(OA' = 3OA \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{1}{3}\);\(OB' = 3OB \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác \(OA'B'\) có:

\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, \(A'B'//AB\) (định lí Thales đảo)

ii) Vì \(A'B'//AB \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{3}{1} = 3\).

b)

i)

- Vì \(OA' = 3OA \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{1}{3}\);\(OB' = 3OB \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác \(OA'B'\) có:

\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, \(A'B'//AB\) (định lí Thales đảo)

Vì \(A'B'//AB \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{3}{1} = 3\).

- Vì \(OA' = 3OA \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{1}{3}\);\(OC' = 3OC \Rightarrow \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác \(OA'C'\) có:

\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, \(A'C'//AC\) (định lí Thales đảo)

Vì \(A'C'//AC \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{3}{1} = 3\).

- Vì \(OB' = 3OB \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\);\(OC' = 3OC \Rightarrow \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác \(OB'C'\) có:

\(\frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, \(B'C'//BC\) (định lí Thales đảo)

Vì \(B'C'//BC \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{3}{1} = 3\).

Do đó, \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}\)

ii) Xét tam giác \(A'B'C'\) và tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}\) (chứng minh trên)

Do đó, tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\).

Hoạt động 2

Tương tự, thực hiện cách dựng như trên với tứ giác \(ABCD\). Trên tia \(OA,OB,OC,OD\) lần lượt lấy các điểm \(A',B',C',D'\) sao cho \(OA' = 2OA,OB' = 2OB,OC' = 2OC,OD' = 2OD\) (Hình 2).

Tính và so sánh các tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{AB}};\frac{{A'D'}}{{AD}};\frac{{B'C'}}{{BC}};\frac{{C'D'}}{{CD}}\).

Phương pháp giải:

- Ta thực hiện các phép tính tỉ số.

- Sử dụng định lí Thales đảo;

- Sử dụng hệ quả của định lí Thales;

Lời giải chi tiết:

- Vì \(OA' = 2OA \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{1}{2}\);\(OB' = 2OB \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{2}\).

Xét tam giác \(OA'B'\) có:

\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, \(A'B'//AB\) (định lí Thales đảo)

Vì \(A'B'//AB \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}\) (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{2}{1} = 2\).

- Vì \(OA' = 3OA \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{1}{3}\);\(OD' = 2OD \Rightarrow \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{1}{2}\).

Xét tam giác \(OA'D'\) có:

\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, \(A'D'//AD\) (định lí Thales đảo)

Vì \(A'D'//AD \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{{AD}}{{A'D'}} = \frac{1}{2}\) (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{A'D'}}{{AD}} = \frac{2}{1} = 2\).

- Vì \(OB' = 2OB \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{2}\);\(OC' = 2OC \Rightarrow \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{2}\).

Xét tam giác \(OB'C'\) có:

\(\frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, \(B'C'//BC\) (định lí Thales đảo)

Vì \(B'C'//BC \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\) (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{2}{1} = 2\).

- Vì \(OD' = 2OD \Rightarrow \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{1}{2}\);\(OC' = 2OC \Rightarrow \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{2}\).

Xét tam giác \(OD'C'\) có:

\(\frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, \(D'C'//DC\) (định lí Thales đảo)

Vì \(D'C'//DC \Rightarrow \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{DC}}{{D'C'}} = \frac{1}{2}\) (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{D'C'}}{{DC}} = \frac{2}{1} = 2\).

Do đó, \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{C'D'}}{{CD}} = \frac{{A'D'}}{{AD}}\).

Thực hành 1

Trong các hình ở Hình 5, hình nào đồng dạng phối cảnh với Hình \(\beta \) theo tỉ số \(k > 1\)? Hình nào đồng dạng phối cảnh với hình \(\beta \) theo tỉ số \(k < 1\)?

Phương pháp giải:

Học sinh quan sát và tiến hành đo độ dài các cạnh của hình.

Nếu \(k > 1\) thì hình phối cảnh sẽ to hơn hình ban đầu; Nếu \(k < 1\) thì hình phối cảnh nhỏ hơn hình ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Ta tiến hành đo và nhận thấy hình \({\beta _1}\) là hình đồng dạng phối cành với hình \(\beta \) theo tỉ số \(k > 1\).

Ta tiến hành đo và nhận thấy hình \({\beta _4}\) là hình đồng dạng phối cành với hình \(\beta \) theo tỉ số \(k < 1\).