Giải mục 1 trang 4,5,6 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) và \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x\), với \(x \in \mathbb{R}\).

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F’(x) và f(x) có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về đạo hàm để tính: \(\left( {u + v} \right)' = u' + v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha  - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0\) với c là hằng số.

Lời giải chi tiết:

a) \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)' = {x^2} + 1\)

b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Câu 2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

a) \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\);

b) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)' = x + \frac{1}{x}\)

Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(G'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)' = x - \frac{1}{x}\)

G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) vì với \(x = 1\) ta có:

\(G'\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)\).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\) (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K. 

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có: \(G'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm \(\int {{x^3}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)'= {x^3}\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).

Do đó, \(\int {{x^3}dx}  = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)