Giải bài tập 6.18 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Để thử nghiệm tác dụng điều trị bệnh mất ngủ của hai loại thuốc X và thuốc Y, người ta tiến hành thử nghiệm với 4 000 người bệnh tình nguyện. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) sau:

Chọn ngẫu nhiên một người bệnh tham gia tình nguyện thử nghiệm thuốc.

a) Tính xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người đó uống thuốc X.

b) Tính xác suất để người bệnh đó uống thuốc Y, biết rằng người đó khỏi bệnh.

Lời giải chi tiết

Không gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp gồm 4 000 bệnh nhân thử nghiệm nên \(n\left( \Omega  \right) = 4000\)

a) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc X”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”.

Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc X và khỏi bệnh”

Ta có: \(1600 + 800 = 2400\) người uống thuốc X nên \(n\left( A \right) = 2400\). Do đó, \(P\left( A \right) = \frac{{2400}}{{4000}}\)

Trong số những người uống thuốc X, có 1 600 người khỏi bệnh nên \(n\left( {AB} \right) = 1\;600\)

Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1600}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{1600}}{{2400}} = \frac{2}{3}\)

b) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc Y”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”

Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc Y và khỏi bệnh”.

Ta có: \(1200 + 1600 = 2800\) khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 2800\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{2800}}{{4000}}\)

Trong số những người khỏi bệnh, có 1200 người uống thuốc Y nên \(n\left( {AB} \right) = 1200\)

Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1200}}{{2800}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{1200}}{{2800}} = \frac{3}{7}\)