Giải bài tập 5 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với gốc O. Các vectơ \(\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OS} \)­ lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \), \(\overrightarrow k \) và OA = OS = 4 (Hình 15). Tìm toạ độ các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} \) và \(\overrightarrow {AM} \)­ ­với M là trung điểm của cạnh SC.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác OAB vuông tại O: \(OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3\)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  - 4\overrightarrow j  =  > A(0; - 4;0)\)

\(\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow i  =  > B(3;0;0)\)

=> \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  = (3; - 4;0)\)

\(\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow j  =  > C(0;4;0)\) => \(\overrightarrow {AC}  = 8\overrightarrow j  = (0;8;0)\)

\(\overrightarrow {OS}  = 4\overrightarrow k  =  > S(0;0;4)\) => \(\overrightarrow {AS}  = 4\overrightarrow j  + 4\overrightarrow k  = (0;4;4)\)

\(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OS}  + \overrightarrow {OC} ) = \frac{1}{2}(4\overrightarrow k  + 4\overrightarrow j ) = 2\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  =  > \overrightarrow {OM}  = (0;2;2) \Rightarrow M(0;2;2)\)

=> \(\overrightarrow {AM}  = 6\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  = (0;6;2)\)