Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha  \le \frac{\pi }{4}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).

a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \).

b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AB = a\tan \alpha \). Khi quay tam giác AOB quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = AB = a\tan \alpha \) và chiều cao \(h = OA = a\).

Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .a.{a^2}{\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{3}\pi .{a^3}{\tan ^2}\alpha \) .

b) Theo a ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \).

Ta có: \(V' = \frac{2}{3}\pi {a^3}\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\). Với \(0 < \alpha  \le \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 < \tan \alpha  < 1\). Do đó, \(V' > 0\) nên hàm số V đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\frac{\pi }{4} = \frac{1}{3}\pi {a^3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của V là \(\frac{1}{3}\pi {a^3}\) khi \(\alpha  = \frac{\pi }{4}\).