Giải bài tập 4 trang 51 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng \(2\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + 2\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3(\overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {SJ} )\)

Lời giải chi tiết

Xét S.ABC: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {IC}  = 3\overrightarrow {SI}  + (\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} )\)

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

=> \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 3\overrightarrow {SI} \)

Xét S.ACD: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SJ}  + \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {SJ}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {SJ}  + \overrightarrow {JD}  = 3\overrightarrow {SJ}  + (\overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} )\)

Vì J là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD}  = \overrightarrow 0 \)

=> \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3\overrightarrow {SJ} \)

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3\overrightarrow {SI}  + 3\overrightarrow {SJ}  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + 2\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3(\overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {SJ} )\)