Giải bài 8 trang 62 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Xét biểu thức: \(A = \left( {\frac{{x\sqrt x  + 8}}{{x - 2\sqrt x  + 4}} - 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 4}}\).

a) Tìm tất cả các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho có giá trị không đổi.

Lời giải chi tiết

a) Nếu \(x < 0\) thì không tính được \(\sqrt x \), nếu \(x = 4\) thì phép chia cho \(x - 4\) không thực hiện được và không tính được giá trị của biểu thức đã cho.

Nếu x không âm và khác 4 thì \(x - 2\sqrt x  + 4 = {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} + 3 > 0\) nên tất cả các phép toán có mặt trong biểu thức đã cho đều thực hiện được.

Vậy tập hợp các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức là \(\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {x \ge 0,x \ne 4} \right.} \right\}\).

b) Với x không âm và khác 4 thì

\(x\sqrt x  + 8 = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {2^3} = \left( {x - 2\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\)

và \(\frac{{x\sqrt x  + 8}}{{x - 2\sqrt x  + 4}} = \sqrt x  + 2\).

Do đó

\(A = \left( {\frac{{x\sqrt x  + 8}}{{x - 2\sqrt x  + 4}} - 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 4}} \\= \left( {\sqrt x  + 2 - 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 4}}\\= \left( {2 - \sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} =  - 1\)

Vậy với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho nhận giá trị không đổi.