Bài 8 trang 169 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2x + 4y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 12 = 0

a) Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo một đường tròn.

b) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu (S) tâm I(1; -2; -1) bán kính R = 5

d(I,(P)) = 3 < R

Do đó (P) cắt (S) theo một đường tròn, gọi đường tròn đó là (C).

b) Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với (P).

Phương trình của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 - 2t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\)

Tâm của (C) là điểm H = d ∩ (P).

Để tìm H ta thay phương trình của d vào phương trình của (P).

Ta có: 1 + t - 2(-2 - 2t) + 2(-1 + 2t) - 12 = 0

Suy ra t = 1, do đó H = (2; -4; 1).

Bán kính của (C) bằng \(\sqrt {{R^2} - I{H^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4\).