Bài 1 trang 168 SBT hình học 12

Đề bài

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'

a) Tính tỉ số \(\frac{{{V_{ACA'B'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}\)

b) Tính V_ACA'B' biết rằng tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, AA' = b và AA' tạo với (ABC) một góc bằng 60^o

Lời giải chi tiết

a) Ta có: V_ACA'B' = V_B'.ACA' = V_B'.CA'C' = V_C.A'B'C' = V_ABC.A'B'C'/3

Từ đó suy ra tỉ số phải tìm bằng 1/3.

b) Gọi H là chân đường cao đi qua A của lăng trụ.

\( \Rightarrow \left( {AA',\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AA',A'H} \right)\) \( = \widehat {AA'H} = {60^0}\)

Tam giác vuông AA’H có \(AH = AA'\sin {60^0} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2}\)

Lại có \({S_{A'B'C'}} = \frac{1}{2}A'B'.A'C'.\sin \widehat {B'A'C'}\) \( = \frac{1}{2}.a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)  

Do đó: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{A'B'C'}}.AH\) \( = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{b\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}b}}{8}\)

Suy ra \({V_{ACA'B'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} \) \(= \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}b}}{8} = \frac{{{a^2}b}}{8}\)