Bài 6 trang 169 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.,d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 2t'\\z =  - 1 + t'\end{array} \right.\) và M(2; -1; 0)

a) Chứng minh rằng d và d' chéo nhau.

b) Tìm tọa độ điểm A trên d và điểm B trên d' để M, A, B thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh được d không song song với d' vì chúng có các vectơ chỉ phương không cùng phương.

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3 + t = 1 + t'\\1 - t = 2t'\\2t =  - 1 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 1\\t =  - 1\\2t =  - 1 + t'\end{array} \right.\)

⇒ hệ phương trình vô nghiệm

Do đó d và d' chéo nhau.

b) Lấy A(3 + t; 1 - t; 2t) thuộc d và B(1 + t'; 2t'; -1 + t') thuộc d'.

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {1 + t;1 - t;2t} \right),\) \(\overrightarrow {MB}  = \left( { - 1 + t';1 + 2t'; - 1 + t'} \right)\)

M, A, B thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MB}  = k\overrightarrow {MA} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + t' = k\left( {1 + t} \right)\\1 + 2t' = k\left( {2 - t} \right)\\ - 1 + t' = k.2t\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' =  - 1\\k =  - 1\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra A(4; 0; 2), B(0; -2; -2).