Bài 7 trang 169 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y - z + 5 = 0 và hai điểm A(-2; -1; 1), B(6; 6; 5). Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với (P) thì phương trình của (Q) là (x + 2) + 2(y + 1) - (z - 1) = 0 hay x + 2y - z + 5 = 0.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q). Giả sử Δ là đường thẳng qua A và song song với (P), I là chân đường vuông góc kẻ từ B đến Δ.

Khi đó I ∈ (Q) và BH ≤ BI.

Do đó AH chính là đường phải tìm.

Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (Q).

Phương trình của d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + t\\y = 6 + 2t\\z = 5 - t\end{array} \right.\)

Để tìm giao điểm H = d ∩ (Q) ta thay phương trình của d vào phương trình của (Q), ta có:

6 + t + 2(6 + 2t) - (5 - t) + 5 = 0 ⇒ t = -3.

Do đó H = (3; 0; 8)

Phương trình đường thẳng AH là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y =  - 1 + t\\z = 1 + 7t\end{array} \right.\)