Bài 77 trang 114 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Tính diện tích phần gạch sọc trên hình sau (theo kích thước đã cho trên hình)

Lời giải chi tiết

Diện tích phần gạch sọc là hiệu giữa diện tích hình thang \(ABCD\) và diện tích hình quạt tròn có góc ở tâm \(30^0\) của đường tròn bán kính bằng a.

Từ \(D\) kẻ \(DH \bot BC\), suy ra \(ADHB\) là hình chữ nhật. 

Trong tam giác vuông \(HDC\) có \(\widehat {DHC} = {90^0}\)

\(DH = DC.\sin \widehat{C} = a.\sin {30^0} = \displaystyle{a \over 2}\)

\(CH = DC.\cos\widehat C = a.\cos{30^0} =\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(BH = BC - HC = \displaystyle a - {{a\sqrt 3 } \over 2} \)\(= \displaystyle{{a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over 2}\)

\( \Rightarrow AD =BH= \displaystyle{{a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over 2}\) (do \(ADHB\) là hình chữ nhật) 

Diện tích của hình thang \(ABCD\) bằng:

\(\displaystyle{{AD + BC} \over 2}.DH \)\(=\displaystyle{{\displaystyle{{a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over 2} + a} \over 2}.{a \over 2}\)

\( = \displaystyle {{{a^2}\left( {4 - \sqrt 3 } \right)} \over 8}\)

Diện tích hình quạt tròn bằng: \(\displaystyle{{\pi .{a^2}.30} \over {360}} = {{\pi {a^2}} \over {12}}\)

Diện tích phần gạch sọc:

\(S = \displaystyle{{{a^2}\left( {4 - \sqrt 3 } \right)} \over 8} - {{\pi a} \over {12}}\)

\( = \displaystyle{{3{a^2}\left( {4 - \sqrt 3 } \right) - 2\pi {a^2}} \over {24}}\)

\( = \displaystyle{{{a^2}} \over {24}}\left( {12 - 3\sqrt 3  - 2\pi } \right)\)