Bài 70 trang 63 SBT toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

LG a

\({\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0\)

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có)

- Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.

- Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \eqalign{
& {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 = 0 \cr} \)

Đặt \(\displaystyle {x^2} - 2x = t,\) ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 2t - 3 = 0\)

Phương trình có: 

\(\displaystyle a - b + c =  1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)

Nên có hai nghiệm: \(\displaystyle {t_1} =  - 1;{t_2} =  - {{ - 3} \over 1} = 3\)

Với \(t=-1\) ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \)

Phương trình có nghiệm kép: \(\displaystyle x_1= x_2= 1\)

Với \(t=3\) ta có: 

\(\displaystyle {x^2} - 2x = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)

Phương trình này có: \(\displaystyle a - b + c =\displaystyle 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)

Nên có hai nghiệm: \(\displaystyle {x_1} =  - 1;{x_2} =  - {{ - 3} \over 1} = 3\)

Vậy phương trình đã cho có \(\displaystyle 3\) nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} =  - 1;{x_3} = 3\)

LG b

\(3\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x = {x^2} + 3\)

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có)

- Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.

- Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle {x^2} + x + 1 = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge 0\) với mọi \(x\)

Nên \(\displaystyle 3\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x = {x^2} + 3\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 - 3\sqrt {{x^2} + x + 1}  + 2 = 0\)

Đặt \(\displaystyle \sqrt {{x^2} + x + 1}  = t \Rightarrow t \ge 0,\) 

Ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 3t + 2 = 0\)

Phương trình này có dạng: \(\displaystyle a + b + c =  1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\)

Nên có hai nghiệm: \(\displaystyle {t_1} = 1;{t_2} = 2\) (thỏa mãn điều kiện)

Với \(t=1\) ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 1 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 1 \cr 
& \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr 
& \Rightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr 
{x + 1 = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr 
{x = - 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \)

Với \(t=2\) ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 4 \cr 
& \Rightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \cr 
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 1 + 12 = 13 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {13} \cr
& {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \cr 
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có \(\displaystyle 4\) nghiệm: \( {x_1} = 0;{x_2} = -1;\) \(\displaystyle {x_3} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2};{x_4} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\)