Bài 65 trang 41 SBT toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

LG a

Giá trị của biểu thức \(\displaystyle {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\)\(:\displaystyle \left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\) bằng \(1\) với mọi giá trị \(x ≠ 0\) và \(x ≠ -1\)

Phương pháp giải:

Thực hiện các phép tính với phân thức để chứng minh khẳng định đã cho.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\)\(:\displaystyle \left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)

Biểu thức \(\displaystyle {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\) xác định khi \(x \ne 0\)

Biểu thức \(\displaystyle {{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)\) xác định khi \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay xác định khi \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 1\)

Vậy với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne -1\)

Ta có : \(\displaystyle {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\)\(:\displaystyle \left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)

\(\displaystyle   = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\)\(:\displaystyle \left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}.{{1 + x} \over x}} \right]  \)\(\displaystyle   = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left( {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over x}} \right)\)\(\displaystyle  = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} \over {{x^2}}}  \)\(\displaystyle  = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}\)\(\displaystyle  = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}.{{{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 \)

Vậy giá trị của biểu thức \(\displaystyle {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\)\(:\displaystyle \left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\) bằng \(1\) với mọi giá trị \(x ≠ 0\) và \(x ≠ -1\)

LG b

Giá trị của biểu thức \(\displaystyle {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\)\(.\displaystyle \left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) bằng \(1\) khi \(x \ne 0,\)\(x \ne  - 3,\)\(x \ne 3,\)\(x \ne  - {3 \over 2}\)

Phương pháp giải:

Thực hiện các phép tính với phân thức để chứng minh khẳng định đã cho.

Lời giải chi tiết:

Biểu thức : \(\displaystyle {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\)\(.\displaystyle \left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) xác định khi \(x - 3 \ne 0,\) \(2x + 3 \ne 0,\) \({x^2} - 3x \ne 0\) và \({x^2} - 9 \ne 0\) hay \(x \ne 3;\)\(x \ne \displaystyle  - {3 \over 2};\) \(x \ne 0;\) \(x \ne 3\) và \(x \ne  \pm 3\)

Vậy điều kiện \(x \ne 0,\) \(x \ne 3,\) \(x \ne  - 3\) và \(x \ne \displaystyle  - {3 \over 2}\)

Ta có: \(\displaystyle {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\)\(.\displaystyle \left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\)

\(\displaystyle   = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\)\(.\displaystyle \left[ {{{x + 3} \over {x\left( {x - 3} \right)}} - {x \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right]  \)\(\displaystyle  = {x \over {x - 3}} - {{x\left( {x + 3} \right)} \over {2x + 3}}\)\(.\displaystyle {{{{\left( {x + 3} \right)}^2} - {x^2}} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}  \)\(\displaystyle  = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 6x + 9 - {x^2}} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)\(\displaystyle  = {x \over {x - 3}} - {{3\left( {2x + 3} \right)} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}  \)\(\displaystyle   = {x \over {x - 3}} - {3 \over {x - 3}} = {{x - 3} \over {x - 3}} = 1 \)

Vậy giá trị của biểu thức \(\displaystyle {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\)\(.\displaystyle \left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) bằng \(1\) khi \(x \ne 0,\)\(x \ne  - 3,\)\(x \ne 3,\)\(x \ne  - {3 \over 2}\)