Bài 6 trang 6 SBT toán 7 tập 1

LG a

Chứng tỏ rằng nếu \(\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\;\;(b > 0,d > 0)\) thì \(\displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\) 

Phương pháp giải:

- Hai phân số cùng mẫu dương, tử số của phân số nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
a < c \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}\,\,\left( \text{với }{b > 0} \right)\\
\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}\,\,\left(\text{với } {b > 0} \right) \Rightarrow a < c
\end{array}\)

    - Tính chất nhân phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

\(ab+ac=a(b+c)\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle {a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\)

Vì \(b>0, d > 0 \Rightarrow  bd > 0\).

Mà \(\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\) nên \(\displaystyle {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) \( \Rightarrow ad < bc\) (vì \(bd>0\))           (1)

Cộng vào hai vế của (1) với \(ab\) ta được: 

\(a{\rm{d}} + ab < bc + ab \)

\(\Rightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {a + c} \right) \)   (*)

Chia cả hai vế (*) với \(b(b+d)\) ta được:

\( \displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}}\)                 (2)

Cộng vào hai vế của (1) với \(cd\) ta được:

\(a{\rm{d}} + c{\rm{d}} < bc + c{\rm{d}}\)

\(\Rightarrow d\left( {a + c} \right) < c\left( {b + d} \right)\)    (2*)

Chia cả hai vế (2*) với \(d(b+d)\) ta được:

\( \displaystyle {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\)                 (3)

Từ (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\)

LG b

 Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa \(\displaystyle{{ - 1} \over 3}\) và \(\displaystyle{{ - 1} \over 4}\). 

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả câu a.

Giải chi tiết:

Áp dụng câu a) ta có:

\(\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 1} \over 4}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 1)} \over {3 + 4}} = {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}\)

\(\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 2} \over 7}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 2)} \over {3 + 7}} = {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7}\)

\(\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 3} \over {10}} \)

\(\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 3)} \over {3 + 10}} = {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}}\)

Vậy \(\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}\).