Bài 53* trang 46 SBT toán 7 tập 2
Giải bài 53* trang 46 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC. a) Chứng minh rằng AD = AE.
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I.\) Gọi \(D\) và \(E\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến \(AB\) và \(AC.\)
a) Chứng minh rằng \(AD = AE.\)
b) Tính các độ dài \(AD, AE\) biết rằng \(AB = 6cm, AC = 8cm.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+) Tính chất đường phân giác của góc: Các điểm nằm trên đường phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó.
+) Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm.
+) Tính chất hai tam giác bằng nhau
Lời giải chi tiết
a) Vì \(I\) là giao điểm phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) nên \(AI\) là tia phân giác của \(Â.\)
\( \Rightarrow ID = IE\) (tính chất tia phân giác) (1)
\(∆ADI \) vuông tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 45^\circ \)
Nên \(∆ADI\) vuông cân tại \(D.\)
\( \Rightarrow ID = DA\) (2)
\(∆AEI\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \)
Nên \(∆ AEI\) vuông cân tại \(E\)
\( \Rightarrow IE = AE\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AD = AE\)
b) Trong tam giác vuông \(ABC\) có \( Â=90°\)
Theo định lý Pitago ta có:
\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \)
\( \Rightarrow BC = 10 \,(cm)\)
Kẻ \(IF \bot BC\)
Xét hai tam giác vuông \(IDB\) và \(IFB:\)
+) \( \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \)
+) Cạnh huyền \(BI\) chung
Do đó: \(∆IDB = ∆IFB\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow DB = FB \) (4)
Xét hai tam giác vuông \(IEC\) và \(IFC:\)
+) \( \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \)
+) Cạnh huyền \(CI\) chung
Do đó: \(∆IEC = ∆IFC\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow CE = CF\) (5)
Mà \(AD + AE \)\(= AB – DB + AC – CE\)
\( \Rightarrow AD + AE \)\(= AB + AC – (DB + CE)\) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra:
\(AD + AE = AB + AC – (FB + FC)\)\( = AB + AC – BC\)
\(AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4\) (cm)
Mà \(AD = AE\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow AD = AE = 4: 2 = 2 (cm)\)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 53* trang 46 SBT toán 7 tập 2 timdapan.com"