Giải bài 5 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng lước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện bước 3, 4, …

Kí hiệu \({a_n}\) là lượng nước có tron bình sau bước n \((n \in \mathbb{N}*)\)

a) Tính \({a_1},{a_2},{a_3}\). Từ đó dự đoán công thức tính \({a_n}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a)

  \(\begin{array}{l}{a_1} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}};\\{a_2} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{2} = \frac{5}{4} = \frac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}};\\{a_3} = \frac{{\frac{5}{4} + 1}}{2} = \frac{9}{8} = \frac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}\).

Từ đó ta dự đoán \({a_n} = \frac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)

b)

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({a_1} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\)

Như vậy công thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: \({a_k} = \frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh \({a_{k + 1}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\)

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

\({a_{k + 1}} = \frac{{{a_k} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\)

Vậy công thức đúng với \(n = k + 1\).

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).