Giải bài 3 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng \({8^n} > {n^3}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({8^1} > {1^3}\)

Như vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: \({8^k} > {k^3}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh \({8^{k + 1}} > {(k + 1)^3}\)

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

\({8^{k + 1}} > 8{k^3} = {k^3} + 3{k^3} + 3{k^3} + {k^3} > {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 = {(k + 1)^3}\)

Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).