Bài 4.76 trang 125 SBT đại số 10

Đề bài

Chứng minh rằng

\({({x^2} - {y^2})^2} \ge 4xy{(x - y)^2},\forall x,y.\)

Lời giải chi tiết

\({({x^2} - {y^2})^2} - 4xy{(x - y)^2} \)

\(= {\left[ {\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)} \right]^2} - 4xy{\left( {x - y} \right)^2}\)

\(= {\left( {x - y} \right)^2}{\left( {x + y} \right)^2} - 4xy{\left( {x - y} \right)^2}\)

\(= {(x - y)^2}{\rm{[(x + y}}{{\rm{)}}^2}{\rm{ - 4xy]}}\)

\( = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy - 4xy} \right)\)

\( = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {{x^2} + {y^2} - 2xy} \right)\)

\( = {(x - y)^2}{(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

Vậy \(  {({x^2} - {y^2})^2} \ge 4xy{(x - y)^2},\forall x,y\)