Bài 46 trang 59 SBT toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

LG a

\(\displaystyle {{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\)

Phương pháp giải:

* Đặt ĐKXĐ của phương trình, khử mẫu để đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\).

* Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta'  = {b'^2} - ac\):

+) Nếu \(\Delta'  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup' }}{a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup' }}{a}\)

+) Nếu \(\Delta'  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b' }{a}\).

+) Nếu \(\Delta'  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\)

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\)

\( \Rightarrow 12\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right) \)\(\,= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \) 

\( \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1 \)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0 \)

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 21} \right) = 4 + 21 = 25 \)

\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \) 

\(\displaystyle {x_1} = {{2 + 5} \over 1} = 7 \) (thỏa mãn)

\(\displaystyle  {x_2} = {{2 - 5} \over 1} = - 3  \)  (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 7;{x_2} =  - 3\).

LG b

\(\displaystyle {{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\)

Phương pháp giải:

* Đặt ĐKXĐ của phương trình, khử mẫu để đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\).

* Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta'  = {b'^2} - ac\):

+) Nếu \(\Delta'  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup' }}{a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup' }}{a}\)

+) Nếu \(\Delta'  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b' }{a}\).

+) Nếu \(\Delta'  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\( \displaystyle  {{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\)

ĐKXĐ: \(x \ne 3;x \ne 1\)

\(\Rightarrow 16\left( {1 - x} \right) + 30\left( {x - 3} \right) \)\(\,= 3\left( {x - 3} \right)\left( {1 - x} \right) \)

\( \Leftrightarrow 16 - 16x + 30x - 90 = 3x - 3{x^2}\)\(\, - 9 + 9x \)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 65 = 0 \)

\( \Delta ' = {1^2} - 3.\left( { - 65} \right) \)\(\,= 1 + 195 = 196 > 0 \)

\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt {196} = 14 \)

\( \displaystyle  {x_1} = {{ - 1 + 14} \over 3} = {{13} \over 3} \) (thỏa mãn)

\( \displaystyle  {x_2} = {{ - 1 - 14} \over 3} = - 5 \) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(\displaystyle  {x_1} = {{13} \over 3};{x_2} =  - 5\).

LG c

\(\displaystyle {{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\)

Phương pháp giải:

Đặt ĐKXĐ của phương trình, khử mẫu để đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\).

Từ đó suy ra \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle  {{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\)

ĐKXĐ: \(x \ne 3;x \ne  - 2\)

\( \Rightarrow {x^2} - 3x + 5 = x + 2 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\)  (*)

Ta có \(a + b + c =  1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0 \)

Phương trình (*) có hai nghiệm:

\({x_1} = 1\) (thỏa mãn); \({x_2} = 3  \) (loại)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 1\).

LG d

\(\displaystyle {{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)

Phương pháp giải:

* Đặt ĐKXĐ của phương trình, khử mẫu để đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\).

* Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta'  = {b'^2} - ac\):

+) Nếu \(\Delta'  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup' }}{a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup' }}{a}\)

+) Nếu \(\Delta'  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b' }{a}\).

+) Nếu \(\Delta'  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle  {{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)

ĐKXĐ: \(x \ne 2;x \ne  - 4\) 

\(\eqalign{
& \Rightarrow 2x\left( {x + 4} \right) - x\left( {x - 2} \right) = 8x + 8 \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - {x^2} + 2x = 8x + 8 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \cr 
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3  \cr} \)

\(\;\;\displaystyle {x_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \) (loại)

\( \;\;\displaystyle {x_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4\) (loại)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

LG e

\(\displaystyle {{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} \)\(\,\displaystyle = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\)

Phương pháp giải:

* Đặt ĐKXĐ của phương trình, khử mẫu để đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\).

* Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

+) Nếu \(\Delta  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

+) Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

+) Nếu \(\Delta  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\) 

ĐKXĐ: \(x \ne 1\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \)\(\,\displaystyle= {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}} \)

\(\displaystyle \Rightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 \)\(\,= \left( {{x^2} - x + 16} \right)\left( {x - 1} \right) \)

\(\Leftrightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = {x^3} - {x^2} \)\(\,+ 16x - {x^2} + x - 16 \)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 11x - 14 = 0 \) 

\( \Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.9.\left( { - 14} \right) = 625 > 0 \)

\( \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \)

\(\displaystyle  {x_1} = {{11 + 25} \over {2.9}} = {{36} \over {18}} = 2 \) (thỏa mãn)

\(\displaystyle {x_2} = {{11 - 25} \over {2.9}} = {{ - 14} \over {18}} = - {7 \over 9} \) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} \displaystyle =  - {7 \over 9}\).

LG f

\(\displaystyle {{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)

Phương pháp giải:

* Đặt ĐKXĐ của phương trình, khử mẫu để đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\).

* Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta'  = {b'^2} - ac\):

+) Nếu \(\Delta'  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup' }}{a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup' }}{a}\)

+) Nếu \(\Delta'  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b' }{a}\).

+) Nếu \(\Delta'  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {{{x^2} + 9x - 1} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} \)\(\,\displaystyle = {{17} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)

\( \Rightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17\left( {x - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17x - 17 \)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 17x - 1 + 17 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 = 0 \)   (2*)

\(\Delta ' = {\left( { - 4} \right)^2} - 1.16 = 16 - 16 = 0  \)

Phương trình (2*) có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = 4\)  (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 4\).