Bài 4.30 trang 207 SBT giải tích 12

Đề bài

Lập phương trình bậc hai có nghiệm là:

a) \(1 + i\sqrt 2 \) và \(1 - i\sqrt 2 \)

b) \(\sqrt 3  + 2i\) và \(\sqrt 3  - 2i\)

c) \( - \sqrt 3  + i\sqrt 2 \) và \( - \sqrt 3  - i\sqrt 2 \)

Lời giải chi tiết

a) Đặt \({z_1} = 1 + i\sqrt 2 ,{z_2} = 1 - i\sqrt 2 \) thì:

\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 1 + i\sqrt 2 + 1 - i\sqrt 2 = 2\\
{z_1}{z_2} = \left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right)\\
= {1^2} - {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + 2 = 3
\end{array}\)

Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\).

b) Đặt \({z_1} = \sqrt 3  + 2i\) và \({z_2} = \sqrt 3  - 2i\) thì

\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = \sqrt 3 + 2i + \sqrt 3 - 2i = 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left( {\sqrt 3 + 2i} \right)\left( {\sqrt 3 - 2i} \right)\\
= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2} = 3 + 4 = 7
\end{array}\)

Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2\sqrt 3 z + 7 = 0\).

c) Đặt \({z_1} =  - \sqrt 3  + i\sqrt 2 \) và \({z_2} =  - \sqrt 3  - i\sqrt 2 \) thì

\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 - \sqrt 3 + i\sqrt 2 = - 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left( { - \sqrt 3 - i\sqrt 2 } \right)\left( { - \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right)\\
= {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2 = 5
\end{array}\)

Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\).