Bài 4.24 trang 204 SBT giải tích 12

Đề bài

Cho \(z \in \mathbb{C}\). Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\)

B. \(\dfrac{1}{z}\) là thuần ảo \( \Leftrightarrow z\) là thuần ảo

C. \(\dfrac{1}{z} = \overline z  \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)

D. \(\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết

Đáp án A: \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

Do đó \(\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow  - \dfrac{b}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\) hay \(z = a \in \mathbb{R}\).

A đúng.

Đáp án B: \(\dfrac{1}{z}\) thuần ảo \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 0\) hay \(z = bi\) thuần ảo.

B đúng.

Đáp án C: \(\dfrac{1}{z} = \overline z  \Leftrightarrow \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}} = a - bi\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)

C đúng.

Đáp án D: \(\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {\dfrac{1}{z}} \right|^2} = {\left| z \right|^2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = {a^2} + {b^2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = {a^2} + {b^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\) hay \(\left| z \right| = 1\) chứ chưa kết luận được \(z \in \mathbb{R}\).

D sai.

Chọn D.