Giải bài 3.9 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10.

b) (H) có tiêu cự bằng\(2\sqrt {13} \), một đường tiệm cận là \(y = \frac{2}{3}x\).

c) (H) có tâm sai bằng \(e = \sqrt 5 \), và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\).

Lời giải chi tiết

a) + Độ dài nửa trục thực \(a = 4\)

+ Tiêu cự bằng \(10 = 2c = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}}  \Rightarrow b = 3\).

\( \Rightarrow \) PTCT của hypebol  \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

b)

+ Tiêu cự bằng \(2\sqrt {13}  = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} \).

+ Hai đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3b\\{a^2} + {b^2} = 13\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\) (vì a, b > 0)

\( \Rightarrow \) PTCT của hypebol  \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

c) + Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a} = \sqrt 5  \Rightarrow c = \sqrt 5 a\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 5 a \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5{a^2} \Leftrightarrow 4{a^2} = {b^2} \Rightarrow 2a = b\) (vì a, b > 0)

+ (H) đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\) nên  \(\frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{{36}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{{36}}{{4{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow a = 1,b = 2\)

\( \Rightarrow \) PTCT của hypebol  \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)