Bài 3.9 trang 117 SBT đại số và giải tích 11

Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết

LG a

\({u_n} = {10^{1 - 2n}}\) 

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n = 1,...,5\) và tính giá trị của \({u_n}\).

- Để xét tính tăng giảm của dãy số ta có thể xét 1 trong hai cách:

+ Cách 1: Xét tỉ số \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) rồi so sánh với \(1\).

+ Cách 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và so sánh với \(0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = {10^{1 - 2.1}} = {10^{ - 1}} = \frac{1}{{10}}\\{u_2} = {10^{1 - 2.2}} = {10^{ - 3}} = \frac{1}{{{{10}^3}}}\\{u_3} = {10^{1 - 2.3}} = {10^{ - 5}} = \frac{1}{{{{10}^5}}}\\{u_4} = {10^{1 - 2.4}} = {10^{ - 7}} = \frac{1}{{{{10}^7}}}\\{u_5} = {10^{1 - 2.5}} = {10^{ - 9}} = \frac{1}{{{{10}^9}}}\end{array}\)

Vậy \(5\) số hạng đầu là: \(\dfrac{1}{{10}},\dfrac{1}{{{{10}^3}}},\dfrac{1}{{{{10}^5}}},\dfrac{1}{{{{10}^7}}},\dfrac{1}{{{{10}^9}}}.\)

Dự đoán dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.

Để chứng minh, ta xét tỉ số \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{10}^{1 - 2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}} \)

\( = \frac{{{{10}^{1 - 2n - 2}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}} = \frac{{{{10}^{ - 1 - 2n}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}}\) \( = {10^{ - 1 - 2n - 1 + 2n}} = {10^{ - 2}} = \frac{1}{{{{10}^2}}} < 1\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n\)

Vậy dãy số giảm

LG b

\({u_n} = {3^n} - 7\)

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n = 1,...,5\) và tính giá trị của \({u_n}\).

- Để xét tính tăng giảm của dãy số ta có thể xét 1 trong hai cách:

+ Cách 1: Xét tỉ số \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) rồi so sánh với \(1\).

+ Cách 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và so sánh với \(0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}
{u_1} = {3^1} - 7 = - 4\\
{u_2} = {3^2} - 7 = 2\\
{u_3} = {3^3} - 7 = 20\\
{u_4} = {3^4} - 7 = 74\\
{u_5} = {3^5} - 7 = 236
\end{array}\)

Vậy \(5\) số hạng đầu là \( - 4,2,20,74,236.\)

Xét dấu của hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = {3^{n + 1}} - 7 - {3^n} + 7 = {3^{n + 1}} - {3^n} > 0\) nên dãy số tăng.

LG c

\({u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}}\)

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n = 1,...,5\) và tính giá trị của \({u_n}\).

- Để xét tính tăng giảm của dãy số ta có thể xét 1 trong hai cách:

+ Cách 1: Xét tỉ số \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) rồi so sánh với \(1\).

+ Cách 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và so sánh với \(0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{{2.1 + 1}}{{{1^2}}} = 3\\
{u_2} = \frac{{2.2 + 1}}{{{2^2}}} = \frac{5}{4}\\
{u_3} = \frac{{2.3 + 1}}{{{3^2}}} = \frac{7}{9}\\
{u_4} = \frac{{2.4 + 1}}{{{4^2}}} = \frac{9}{{16}}\\
{u_5} = \frac{{2.5 + 1}}{{{5^2}}} = \frac{{11}}{{25}}
\end{array}\)

Vậy \(5\) số hạng đầu là \(3,\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{9},\dfrac{9}{{16}},\dfrac{11}{{25}}.\)

Ta có: \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{{n^2}}} = \frac{{2n}}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} = \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = \dfrac{2}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}\) \( = \left( {\dfrac{2}{{n + 1}} - \dfrac{2}{n}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)\) \( = \dfrac{{ - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} + \dfrac{{ - 2n - 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\)

Do đó dãy số giảm.

LG d

\({u_n} = \dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}.\)

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n = 1,...,5\) và tính giá trị của \({u_n}\).

- Để xét tính tăng giảm của dãy số ta có thể xét 1 trong hai cách:

+ Cách 1: Xét tỉ số \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) rồi so sánh với \(1\).

+ Cách 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và so sánh với \(0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{{{3^1}.\sqrt 1 }}{{{2^1}}} = \frac{3}{2}\\
{u_2} = \frac{{{3^2}.\sqrt 2 }}{{{2^2}}} = \frac{{9\sqrt 2 }}{4}\\
{u_3} = \frac{{{3^3}.\sqrt 3 }}{{{2^3}}} = \frac{{27\sqrt 3 }}{8}\\
{u_4} = \frac{{{3^4}.\sqrt 4 }}{{{2^4}}} = \frac{{81\sqrt 4 }}{{16}}\\
{u_5} = \frac{{{3^5}.\sqrt 5 }}{{{2^5}}} = \frac{{243\sqrt 5 }}{{32}}
\end{array}\)

Vậy \(5\) số hạng đầu là \(\dfrac{3}{2},\dfrac{{9\sqrt 2 }}{4},\dfrac{{27\sqrt 3 }}{8},\dfrac{{81\sqrt 4 }}{{16}},\dfrac{{243\sqrt 5 }}{{32}}.\)

Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\) \( = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{{3^n}\sqrt n }}\) \( = \dfrac{{3\sqrt {n + 1} }}{{2\sqrt n }} > 1\)

Do đó dãy số tăng.