Bài 3.44 trang 132 SBT hình học 12

Đề bài

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng d: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}\)

Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\), hãy viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \)  đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\).

Lời giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z =  - 2 - 3t}\end{array}} \right.\)

Xét phương trình \(2(1 + 2t) + t + ( - 2 – 3t) – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 2t - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\)

Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\) tại điểm \(M\left( {2;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)\).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là  \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2;1;1)\) và \(\overrightarrow {{u_d}}  = (2;1; - 3)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là vecto pháp tuyến của \(\Delta \), ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 4;8;0} \right)\) nên chọn \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1; - 2;0} \right)\)

Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = \dfrac{1}{2} - 2t}\\{z =  - \dfrac{7}{2}}\end{array}} \right.\)