Bài 3.41 trang 132 SBT hình học 12

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 12 = 0

LG a

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \((\alpha )\);

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và vuông góc \(\left( \alpha  \right)\).

- Tìm giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 2z + 12 = 0 là: \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\)

Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t ; 2 + 2t) \( \in \Delta \)

Ta có \(H \in (\alpha )\)\( \Leftrightarrow 2(1 + 2t) + (1 + t)\)\( + 2(2 + 2t) + 12 = 0\)  \( \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 19}}{9}\)

Vậy ta được \(H\left( {\dfrac{{ - 29}}{9};\dfrac{{10}}{9};\dfrac{{ - 20}}{9}} \right)\)

LG b

Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng \((\alpha )\).

Phương pháp giải:

\(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(\left( \alpha  \right)\) \( \Leftrightarrow H\) là trung điểm của \(MM'\).

Lời giải chi tiết:

H là trung điểm của MM’, suy ra  \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{ - 58}}{9} - 1 = \dfrac{{ - 67}}{9}\)

\({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{20}}{9} + 1 = \dfrac{{29}}{9}\)

\({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{ - 40}}{9} - 2 = \dfrac{{ - 58}}{9}\)

Vậy ta được \(M'\left( {\dfrac{{ - 67}}{9};\dfrac{{29}}{9};\dfrac{{ - 58}}{9}} \right)\)