Bài 33 trang 83 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Hình thang cân \(ABCD\) có đường chéo \(DB\) vuông góc với cạnh bên \(BC,\) \(DB\) là tia phân giác của góc \(D.\) Tính chu vi của hình thang, biết \(BC = 3cm.\)

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình thang cân nên \(AD = BC = 3 \;\;(cm)\)  (tính chất hình thang cân)

Ta có: \(AB//CD\) (do ABCD là hình thang) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong)

Lại có DB là tia phân giác của góc ADC nên: 

\(\eqalign{
& \widehat {ADB} = \widehat {BDC} \cr 
& \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ADB} \cr} \)

\(⇒ ∆ ABD\) cân tại \(A\)

\(⇒ AB = AD = 3\;\; (cm)\)

\(∆ BDC\) vuông tại \(B\)

\( \Rightarrow \widehat {BDC} + \widehat C = {90^0}\) (tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông bằng \(90^0)\)

Mà \(\widehat {ADC} = \widehat C\) (do ABCD là hình thang cân),  \(\widehat {BDC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ADC}\) (do DB là phân giác góc D) nên  \(\widehat {BDC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat C\)

\(\Rightarrow \widehat C + \displaystyle  {1 \over 2}\widehat C = {90^0} \Rightarrow \dfrac{3}2\widehat C = {90^0}\Rightarrow \widehat C = {60^0}\)

Gọi \(O\) là giao điểm của của \(AD\) và \(BC\).

Do \( \Delta ODC\) có \(DB\) vừa là phân giác, vừa là đường cao nên \( \Delta ODC\) là tam giác cân tại \(D.\)

Ta lại có: \( \widehat C=60^0\) nên \( \Delta ODC\) là tam giác đều.

\(\Rightarrow CD=OC=2BC=2.3=6\;\; (cm)\)

Chu vi hình thang \(ABCD\) bằng:

\(AB + BC + CD + DA \)\(= 3+3 +6 +3=15 \;\;\;(cm)\)