Bài 24 trang 83 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên các cạnh bên \(AB,\) \(AC\) lấy các điểm \(M,\) \(N\) sao cho \(BM = CN.\)

\(a)\) Tứ giác \(BMNC\) là hình gì \(?\) Vì sao \(?\)

\(b)\) Tính các góc của tứ giác \(BMNC\) biết rằng \(\widehat A = {40^0}\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) \(∆ ABC\) cân tại \(A\)

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C \) (tính chất tam giác cân) 

Mà \(  \widehat B + \widehat C +\widehat A=180^0 \)  (tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C =180^0-\widehat A\)

\( \Rightarrow 2\widehat B =180^0-\widehat A\)

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C= \displaystyle {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) \((1)\)

\(AB = AC\;\;\; (gt) \)

\(⇒ AM + BM= AN+ CN\)

mà \(BM = CN \;\;\; (gt)\)

suy ra: \(AM = AN\)

\(⇒ ∆ AMN\) cân tại \(A\)

\( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1} \) ( tính chất tam giác cân)

Mà \({\widehat M_1} + {\widehat N_1}+\widehat A=180^0 \)  (tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \widehat M_1 + \widehat N_1 =180^0-\widehat A\)

\( \Rightarrow 2\widehat M_1 =180^0-\widehat A\)

\( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1}= \displaystyle {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\)   \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:  \({\widehat M_1} = \widehat B\)

\(⇒MN // BC\) ( vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác \(BCMN\) là hình thang có \(\widehat B = \widehat C\). Vậy \(BCMN\) là hình thang cân.

\(b)\) Với \(\widehat A = {40^0}\) thì \(\widehat B = \widehat C =\displaystyle {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\)\( = \displaystyle {{{{180}^0} - {{40}^0}} \over 2} = {70^0}\)

Vì \(MN//BC\) nên \({\widehat M_2} + \widehat B = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)

\( \Rightarrow {\widehat M_2} = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {70^0} = {110^0}\)

Vì \(BCMN\) là hình thang cân nên \({\widehat N_2} = {\widehat M_2} = {110^0}\)   (tính chất hình thang cân)