Bài 3.2 trang 163 SBT giải tích 12

Chứng minh rằng các hàm số \(F(x)\) và \(G(x)\) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

LG câu a

a) \(F(x) = \dfrac{{{x^2} + 6x + 1}}{{2x - 3}}\)  và \(G(x) = \dfrac{{{x^2} + 10}}{{2x - 3}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) (\(C\) là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết:

Vì \(F(x) = \dfrac{{{x^2} + 6x + 1}}{{2x - 3}}\) \( = \dfrac{{\left( {{x^2} + 10} \right) + \left( {6x - 9} \right)}}{{2x - 3}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 10}}{{2x - 3}} + 3 = G(x) + 3\) nên \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số.

Cụ thể: \(G'\left( x \right) = \left( {\dfrac{{{x^2} + 10}}{{2x - 3}}} \right)'\) \( = \dfrac{{2x\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {{x^2} + 10} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2{x^2} - 6x - 20}}{{{{(2x - 3)}^2}}}\).

LG câu b

b) \(F(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)  và \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) (\(C\) là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết:

Vì \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x\)\( = \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + 9\) \( = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9\), nên \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số.

Cụ thể: \(\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)' = \dfrac{{ - \left( {{{\sin }^2}x} \right)'}}{{{{\sin }^4}x}}\) \( =  - \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{{{\sin }^4}x}}\) \( =  - \dfrac{{2\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}\)