Bài 3.13 trang 118 SBT đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với  \(\left( {{u_n}} \right) = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}.\)

LG a

Viết năm số hạng đầu của dãy số

Phương pháp giải:

Cho \(n\) nhận lần lượt các giá trị \(1,2,3,4,5\) suy ra \(5\) số hạng đầu

Lời giải chi tiết:

Ta có \(5\) số hạng đầu của dãy là \(1;5;17;49;129\)

LG b

Tìm công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Tìm hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}.\)

Lời giải chi tiết:

\({u_{n + 1}} - {u_n}\)  \( = 1 + n{.2^{n + 1}} - 1 - \left( {n - 1} \right){2^n}\) \( = 2n{.2^n} - \left( {n - 1} \right){2^n}\) \( = {2^n}\left( {n + 1} \right)\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + {2^n}\left( {n + 1} \right)\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){2^n}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

LG c

Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Phương pháp giải:

Xét dấu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Do đó \({u_n} \ge {u_1} = 1,\forall n\) nên dãy đã cho bị chặn dưới.