Bài 2.9 trang 47 SBT hình học 12

Đề bài

Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng \(r\sqrt 3 \).

Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 30⁰.

a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.

b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.

c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.

Lời giải chi tiết

a) Từ A và B dựng các đường sinh AA’ và BB’ ta có thiết diện qua AB và song song với trục là hình chữ nhật AA’BB’. Góc giữa AB và trục chính là góc \(\displaystyle \widehat {ABB'}\) . Do đó,  \(\displaystyle \widehat {ABB'} = {30^0}\). Vậy  \(\displaystyle AB' = BB'\tan {30^0} = r\sqrt 3 .{1 \over {\sqrt 3 }} = r\)

Do đó diện tích tứ giác AA’BB’ là \(\displaystyle {S_{{\rm{AA}}'BB'}} = AB'.BB' = r.r\sqrt 3  = {r^2}\sqrt 3 \)

b) Góc giữa hai bán kính đáy OA và O’B là \(\displaystyle \widehat {AOB'}\)  và \(\displaystyle \widehat {A'O'B}\)

Vì AB’ = r nên AOB’  là tam giác đều, do đó  \(\displaystyle \widehat {AOB}' = {60^0}\)

c) Mặt phẳng (ABB’) chứa AB và song song với trục OO’ của hình trụ. Gọi H là trung điểm của AB’. Ta có \(\displaystyle OH \bot (ABB')\) . Đường thẳng qua H song song với OO’ cắt AB tại I. Dựng IK // HO cắt OO’ tại K. Ta chứng minh được IK là đoạn vuông góc chung của AB và OO’.

Ta có \(\displaystyle IK = HO = {{r\sqrt 3 } \over 2}\)