Bài 2.6 trang 47 SBT hình học 12

Đề bài

Cho khối nón có bán kính đáy \(r = 12 cm\) và có góc ở đỉnh là \(\alpha  = {120^0}\). Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết ta có góc ở đỉnh của hình nón là \(\displaystyle \widehat {ASB} = \alpha  = {120^0}\).

Gọi \(\displaystyle O \) là tâm của đường tròn đáy. Ta có: \(\displaystyle \widehat {ASO} = {60^0}\)  và \(\displaystyle \sin {60^0} = {{OA} \over {SA}} = {r \over l}\) với \(\displaystyle l\) là độ dài đường sinh của hình nón.

Vậy \(\displaystyle l = {r \over {\sin {{60}^0}}} = {{12} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{24} \over {\sqrt 3 }}\)

Khi có hai đường sinh vuông góc với nhau ta có tam giác vuông có diện tích là \(\displaystyle {1 \over 2}{l^2}\).  

Do đó, diện tích của thiết diện là: \(\displaystyle S = {1 \over 2}{l^2} \) \(\displaystyle = {1 \over 2}.{{{{24}^2}} \over 3}\) \(\displaystyle = 96(c{m^2})\).