Bài 2.30 trang 63 SBT hình học 12

Đề bài

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r’\). Xét hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(S\) và \(A\) cố định, \(SA = h\) cho trước và có đáy \(ABCD \) là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau.

a) Tính bán kính \(r\) của mặt cầu đi qua năm đỉnh của hình chóp.

b) Hỏi đáy \(ABCD\) là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?

Lời giải chi tiết

a) Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I.

Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O’ là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp.

Khi đó điểm O’ phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Ta có \(\displaystyle d \bot (ABCD)\) tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

Ta có MI // SA nên \(\displaystyle MI \bot (ABCD)\) tại I. Từ M kẻ đường thẳng d’//OI cắt d tại O’.

Vì \(\displaystyle d' \bot (SAC)\) tại M nên ta có  O’C = O’S và O’C là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có \(\displaystyle r = O'C = \sqrt {OO{'^2} + O{C^2}}  = \sqrt {M{I^2} + r{'^2}}\)

\(\displaystyle = \sqrt {{{({h \over 2})}^2} + r{'^2}}  \) \(\displaystyle = {{\sqrt {{h^2} + 4r{'^2}} } \over 2}\)

b) Vì SA không đổi nên ta có V_SABCD lớn nhất khi và chỉ khi S_ABCD  lớn nhất.

Ta có \(\displaystyle {S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD\)  trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau.

Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r’ , nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông.