Bài 2.28 trang 62 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc \(\Delta \)  và A’ thuộc \(\Delta '\)  . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với \(\Delta '\)  và d là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \)  trên mặt phẳng (P). Đặt  AA’ = a, góc nhọn giữa \(\Delta \)  và d là \(\alpha \). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt \(\Delta \) và \(\Delta '\) lần lượt tại M và M’. Gọi M₁ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M₁ cùng nằm trên  mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, \(\alpha \) và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với \(\displaystyle \Delta '\) nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc \(\displaystyle \Delta \) mà d là hình chiếu vuông góc của \(\displaystyle \Delta \) trên (P) nên M₁ thuộc d.

Vì \(\displaystyle MA \bot {\rm{AA}}' => {M_1}A \bot AA'\)

Mặt khác \(\displaystyle {M_1}A \bot M'A'\) nên ta suy ra \(\displaystyle {M_1}A \bot ({\rm{AA}}'M')\). Do đó \(\displaystyle {M_1}A \bot M'A\)   và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M₁.

Ta có   \(\displaystyle M'A' \bot (P)\) nên \(\displaystyle M'A' \bot A'{M_1}\), ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính  M’M₁

Ta có  (Q) // (P) nên ta suy ra   \(\displaystyle M{M_1} \bot (Q)\) mà MM’ thuộc (Q), do đó \(\displaystyle {M_1}M \bot MM'\)

Như vậy 5 điểm A, A’ , M, M’, M₁ cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M₁. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M₁.

Ta có \(\displaystyle M'{M_1}^2 = M'A{'^2} + A'{M_1}^2 \) \(\displaystyle = M'A{'^2} + A'{A^2} + A{M_1}^2 \) \(\displaystyle = {x^2} + {a^2} + {x^2}{\cot ^2}\alpha \) vì MM₁ = x và \(\displaystyle \cot \alpha  = {{A{M_1}} \over {{M_1}M}} = {{A{M_1}} \over x}\)

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng \(\displaystyle {{M'{M_1}} \over 2}\)  nên \(\displaystyle r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {x^2}(1 + {{\cot }^2}\alpha )} \)

b) Hình tứ giác A’M’MM₁ là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M.

Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng \(\displaystyle \Delta \).

Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’.

Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.