Bài 2.27 trang 62 SBT hình học 12

Đề bài

Trong mặt phẳng \((\alpha )\) , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng \((\alpha )\)  đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.

a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng \((\alpha )\) xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.

b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.

c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác vuông ABC có BC = 2a và AC = a nên ta suy ra \(\displaystyle \widehat {ABC} = {30^0}\).

Khi quay xung quanh trục AB cạnh BC tạo nên mặt nón tròn  xoay có góc ở đỉnh bằng 60⁰ và có đường tròn đáy có bán kính AC = a.

Khi xoay xung quanh trục AB nửa đường tròn đường kính AB tạo nên mặt cầu có tâm là trung điểm I của đoạn AB và bán kính \(\displaystyle r = {{AB} \over 2}\).

b) Khi quay xung quanh trục AB, giao điểm M của nửa đường tròn đường kính AB và cạnh CD sẽ tạo nên giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.

Vẽ \(\displaystyle MH \bot AB\).

Ta có: \(\displaystyle {{MH} \over {MB}} = {{CA} \over {CB}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\)

Mặt khác ta có CA² = CM. CB nên ta có \(\displaystyle CM = {{{a^2}} \over {2a}} = {a \over 2}\)

Do đó \(\displaystyle BM = CB - CM = 2a - {a \over 2} = {3 \over 2}a\) và \(\displaystyle MH = {3 \over 4}a\)

c) Gọi S₁ là diện tích toàn phần của hình nón và S₂ là diện tích mặt cầu.

Ta có: \(\displaystyle {S_1} = \pi rl + \pi {r^2} = 2\pi {a^2} + \pi {a^2} = 3\pi {a^2}\)

\(\displaystyle {S_2} = 4\pi {r^2} = 4\pi {(IA)^2}\) \(\displaystyle = 4\pi {({{a\sqrt 3 } \over 2})^2} = 3\pi {a^2}\)

Vậy S₁ = S₂