Bài 2.12 trang 67 SBT hình học 11

Cho tứ diện \(ABCD\). Cho \(I\) và \(J\) tương ứng là trung điểm của \(BC\) và \(AC\) , \(M\) là một điểm tùy ý trên cạnh \(AD\).

Hình vẽ

LG a

Tìm giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((MIJ)\) và \((ABD)\)

Phương pháp giải:

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) song song với nhau:

- Tìm điểm chung của hai mặt phẳng.

- Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với \(d\) và \(d’\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(M\in (MIJ)\) và \(M\in AD, AD\subset (ABD)\)

\(\Rightarrow M\in (ABD)\)

\(\Rightarrow M\in (MIJ)\cap (ABD)\)

Ta cũng có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{IJ}}\parallel AB\\{\rm{IJ}} \subset (M{\rm{IJ}})\\AB \subset (ABD)\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow (MIJ)\cap(ABD)=d=Mt,\)

\(Mt\parallel AB\parallel IJ\).

LG b

Gọi \(N\) là giao điểm của \(BD\) với giao tuyến \(d\), \(K\) là giao điểm của \(IN\) và \(JM\). Tìm tập hợp điểm \(K\) khi \(M\) di động trên đoạn \(AD\) (\(M\) không là trung điểm của \(AD\)).

Phương pháp giải:

Từ \(K=IN\cap JM\) của giả thiết ta suy ra được \(K\) là giao của hai mặt phẳng.

Sử dụng tính chất “Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy” suy ra được \(K\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Trong \((ABD)\) có \(Mt \parallel AB \Rightarrow Mt \cap BD = N\)

\(IN\cap JM=K\)

Khi đó \(K ∈ IN, IN\subset (BCD)\)

\(\Rightarrow K ∈ (BCD)\)

và \(K ∈ JM, JM\subset (ACD) \)

\(⇒ K ∈ (ACD)\)

\(\Rightarrow K\in (BCD)\cap(ACD)\)

Mặt khác \((BCD) \cap (ACD) = CD\) do đó \(K \in CD\). Do vậy \(K\) nằm trên hai nửa đường thẳng \(Cm\) và \(Dn\) thuộc đường thẳng \(CD\). (Để ý rằng nếu \(M\) là trung điểm của \(AD\) thì sẽ không có điểm \(K\)).

LG c

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((ABK)\) và \((MIJ)\)

Phương pháp giải:

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) song song với nhau:

- Tìm điểm chung của hai mặt phẳng.

- Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với \(d\) và \(d’\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}K \in (ABK)\\K \in IN,IN \subset (M{\rm{IJ}})\end{array} \right.\\ \Rightarrow K \in (ABK) \cap (M{\rm{IJ}})\end{array}\)

Mà

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset (ABK)\\{\rm{IJ}} \subset (M{\rm{IJ}})\\AB\parallel {\rm{IJ}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow (ABK) \cap (M{\rm{IJ}}) = Kx,\)

\(Kx\parallel AB\parallel {\rm{IJ}}\).