Bài 2.1, 2.2 phần bài tập bổ sung trang 8 SBT toán 9 tập 2

Bài 2.1

Không vẽ đồ thị, hãy giải thích vì sao các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

\(a)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr 
{x - 3y = 2} \cr} } \right.\)

\(b)\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 15} \cr 
{2y = - 7} \cr} } \right.\)

\(c)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr 
{2y = - 7} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

\((I) \ \left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \  (d)\cr 
{a'x +b'y = c'} \  (d') \cr} } \right.\)

+ Nếu \((d)\) cắt \((d')\) thì hệ \((I)\) có một nghiệm duy nhất.

+ Nếu \((d)\) song song với \((d')\) thì hệ \((I)\) vô nghiệm. 

+ Nếu \((d)\) trùng với \((d')\) thì hệ \((I)\) có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(a)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr 
{x - 3y = 2} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{y = \displaystyle{1 \over 3}x - {2 \over 3}} \cr} } \right.} \right.\)

Đường thẳng \(x = 2\) song song với trục tung, đường thẳng \(y = \displaystyle{1 \over 3}x - {2 \over 3}\) cắt trục tung nên hai đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

\(b)\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 15} \cr 
{2y = - 7} \cr} } \right.\)   \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle- {3 \over 5}x + 3} \cr 
{y=\displaystyle- {7 \over 2}} \cr} }  \right.\)

Đường thẳng \(y=\displaystyle- {7 \over 2}\) song song với trục hoành, đường thẳng \(y = \displaystyle - {3 \over 5}x + 3\) cắt trục hoành nên hai đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

\(c)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr 
{2y = - 7} \cr} } \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{y = \displaystyle- {7 \over 2} } \cr} } \right.\)

Đường thẳng \(x =2\) song song với trục tung, đường thẳng \( y=\displaystyle- {7 \over 2} \) cắt trục tung nên hai đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 2.2

Những hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm, những hệ nào có vô số nghiệm?

\(a)\left\{ {\matrix{
{2x + 0y = 5} \cr 
{4x + 0y = 7} \cr} } \right.\)

\(b)\left\{ {\matrix{
{2x + 0y = 5} \cr 
{4x + 0y = 10} \cr} } \right.\)

\(c)\left\{ {\matrix{
{0x + 3y = - 8} \cr 
{0x - 21y = 56} \cr} } \right.\) 

\(d)\left\{ {\matrix{
{0x + 3y = - 8} \cr 
{0x - 21y = 50} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

\((I) \ \left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \  (d)\cr 
{a'x +b'y = c'} \  (d') \cr} } \right.\)

+ Nếu \((d)\) cắt \((d')\) thì hệ \((I)\) có một nghiệm duy nhất.

+ Nếu \((d)\) song song với \((d')\) thì hệ \((I)\) vô nghiệm. 

+ Nếu \((d)\) trùng với \((d')\) thì hệ \((I)\) có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(a)\left\{ {\matrix{
{2x + 0y = 5} \cr 
{4x + 0y = 7} \cr}  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle{5 \over 2}} \cr 
{x = \displaystyle{7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.\)

Đường thẳng \(x = \displaystyle{5 \over 2}\) song song với trục tung, đường thẳng \(x = \displaystyle{7 \over 4}\) cũng song song với trục tung nên chúng  song song với nhau (vì \(\dfrac{5}2\ne \dfrac{7}4)\)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 

\(b)\) Ta có \(2x + 0y = 5 \Leftrightarrow x =  \displaystyle {5 \over 2}\);

\(4x + 0y = 10 \Leftrightarrow x =  \displaystyle {5 \over 2}\)

Do đó đường thẳng \(2x + 0y = 5\) và đường thẳng \(4x + 0y = 10\) trùng nhau.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

\(c)\) Ta có \(0x + 3y =  - 8 \Leftrightarrow y =  \displaystyle -{8 \over 3}\);

\(0x - 21y = 56  \Leftrightarrow y =  \displaystyle -{8 \over 3}\)

Do đó đường thẳng \(0x + 3y =  - 8 \) và đường thẳng \(0x - 21y = 56\) trùng nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

\(d)\left\{ {\matrix{
{0x + 3y =  - 8} \cr 
{0x - 21y = 50} \cr}  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = -\displaystyle{8 \over 3}} \cr 
{y = -\displaystyle{50 \over 21}} \cr} } \right.} \right.\)

Đường thẳng  \(y =  - \displaystyle{8 \over 3}\) và đường thẳng \(y =- \displaystyle{50 \over 21}\) đều song song với trục hoành nên chúng song song với nhau. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.