Bài 12 trang 8 SBT toán 9 tập 2

Minh họa hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau:

LG a

\(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 7} \cr 
{x - y = 6} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Ta biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng \(\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\)  

+) Vẽ hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\)  trong cùng một hệ trục tọa độ.

+) Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã cho dựa vào hình vẽ.

+) Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

\( \left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 7} \cr 
{x - y = 6} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle - {2 \over 3}x + {7 \over 3}} \cr 
{y = x - 6} \cr} } \right.\)

- Vẽ đường thẳng \(y =   \displaystyle - {2 \over 3}x + {7 \over 3}\):

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  \displaystyle {7 \over 3}\) ta được  \(A\left( {0; \displaystyle{7 \over 3}} \right)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = \displaystyle {7 \over 2}\) ta được \(B\left( {\displaystyle {7 \over 2};0} \right)\)

Đường thẳng \(y =   \displaystyle - {2 \over 3}x + {7 \over 3}\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A, \ B.\)

- Vẽ đường thẳng \(y = x – 6\):

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 6\) ta được \(C\left( {0; - 6} \right)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 6\) ta được \(D\left( {6;0} \right)\)

Đường thẳng \(y = x – 6\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(C, \ D.\)

- Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng \(y =   \displaystyle - {2 \over 3}x + {7 \over 3}\) và \(y = x – 6\) cắt nhau tại điểm \(M (5; -1).\)

Thay \(x = 5, y = -1\) vào hệ phương trình đã cho ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}2.5 +3.(-1) = 7\\5 - (-1) = 6\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 = 7\\ 6 =  6\end{array} \text{(luôn đúng)} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (5; -1)\).

LG b

\( \left\{ {\matrix{
{3x + 2y = 13} \cr 
{2x - y = - 3} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Ta biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng \(\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\)  

+) Vẽ hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\)  trong cùng một hệ trục tọa độ.

+) Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã cho dựa vào hình vẽ.

+) Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ {\matrix{
{3x + 2y = 13} \cr 
{2x - y = - 3} \cr} } \right. \) 

\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle - {3 \over 2}x + {13 \over 2}} \cr 
{y = 2x + 3} \cr} } \right. \)

- Vẽ đường thẳng \(y = \displaystyle - {3 \over 2}x + {{13} \over 2}\):

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \displaystyle {{13} \over 2} \) ta được \(E(0;\displaystyle {{13} \over 2} )\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x =\displaystyle  {{13} \over 3}\) ta được \(F(\left( {\displaystyle {{13} \over 3};0} \right)\)

Đường thẳng \(y = \displaystyle - {3 \over 2}x + {{13} \over 2}\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(E, \ F\)

- Vẽ đường thẳng \(y = 2x + 3\):

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 3\) ta được \(G (0; 3)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x =  \displaystyle - {3 \over 2}\) ta được  \(H (\displaystyle - {3 \over 2}; 0)\)

Đường thẳng \(y = 2x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(G, \ H.\)

- Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng \(y = \displaystyle - {3 \over 2}x + {{13} \over 2}\) và \(y = 2x + 3\) cắt nhau tại điểm \(N (1;5).\)

Thay \(x = 1, y = 5\) vào hệ phương trình đã cho ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}3.1+2.5 = 13\\2.1 - 5 = -3\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 = 13\\ -3 =  -3\end{array} \text{(luôn đúng)} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (1;5)\).

LG c

\( \left\{ {\matrix{
{x + y = 1} \cr 
{3x + 0y = 12} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Ta biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng \(\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\)  

+) Vẽ hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\)  trong cùng một hệ trục tọa độ.

+) Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã cho dựa vào hình vẽ.

+) Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ {\matrix{
{x + y = 1} \cr 
{3x + 0y = 12} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - x + 1} \cr 
{x = 4} \cr} } \right.} \right.\)

- Vẽ đường thẳng \(y = -x + 1\):

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 1\) ta được \(I  (0; 1)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 1\) ta được \(J(1; 0)\)

Đường thẳng \(y = -x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(I, \ J\).

- Vẽ đường thẳng \(x = 4\): 

Đường thẳng \(x=4\) đi qua điểm \(K(4;0)\) và song song với trục tung.

- Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng \(y = -x + 1\) và \(x = 4\) cắt nhau tại điểm \(L (4;-3).\)

Thay \(x = 4, y = -3\) vào hệ phương trình đã cho ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}4+(-3)=1\\3.4+0.(-3)=12\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1= 1\\ 12 =  12\end{array} \text{(luôn đúng)} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (4;-3)\).

LG d

\(\left\{ {\matrix{
{x + 2y = 6} \cr 
{0x - 5y = 10} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Ta biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng \(\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\)  

+) Vẽ hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\)  trong cùng một hệ trục tọa độ.

+) Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã cho dựa vào hình vẽ.

+) Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ {\matrix{
{x + 2y = 6} \cr 
{0x - 5y = 10} \cr} } \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle - {1 \over 2}x + 3} \cr 
{y = -2} \cr} } \right. \)

- Vẽ đường thẳng \(y = \displaystyle - {1 \over 2}x + 3\):

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 3\) ta được \(P(0; 3)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 6\) ta được \(Q (6; 0)\)

Đường thẳng \(y = \displaystyle - {1 \over 2}x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(P, \ Q\).

- Vẽ đường thẳng \(y = -2\):

Đường thẳng \(y = -2\) đi qua điểm \(R(0;-2)\) và song song với trục hoành.

- Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng \(y = \displaystyle - {1 \over 2}x + 3\) và \(y = -2\) cắt nhau tại điểm \(T (10;-2).\)

Thay \(x = 10, y = -2\) vào hệ phương trình đã cho ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}10+2.(-2)=6\\0.10-5.(-2)=10\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6=6\\ 10 =  10\end{array} \text{(luôn đúng)} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (10;-2)\).