Bài 19 trang 99 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. Cụ thể là:

Nếu góc \(BAx\) (với đỉnh \(A\) nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung \(AB\)), có số đo bằng nửa số đo cung \(AB\) căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh \(Ax\) là một tia tiếp tuyến của đường tròn. 

Lời giải chi tiết

Kẻ đường kính vuông góc với \(AB\) tại \(H\)  và cắt cung \(AB\) tại \(M\) \( \Rightarrow \) \(\overparen{AM}=\overparen{BM}\) vì đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung đó. 

Ta có \(\widehat {AOM} = \) sđ \(\overparen{AM}\) \( = \dfrac{1}{2}\) sđ\(\overparen{AB}\)   (1)

Theo giả thiết ta có

\(\widehat {BAx} = \dfrac{1}{2}\) sđ\(\overparen{AB}\)          (2)

vì \(\overparen{AM}>\overparen{MB}\) và từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BAx}\)

Trong \(\Delta AOH\) vuông tại \(H\) ta có:

 \(\widehat {AOH} + \widehat {HAO} = 90^\circ \) 

Vậy \(\widehat {BAx} + \widehat {HAO} = 90^\circ  \Rightarrow Ax \bot OA\) tại \(A.\)

Suy ra \(Ax\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)