Bài 164 trang 101 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.

a. Tính khoảng cách từ I đến AB

b. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?

Lời giải chi tiết

a. Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB 

⇒ CE // DF // IH (cùng vuông với AB)

Suy ra DCEF là hình thang.

Xét hình thang DCEF có: 

CE // DF // IH và IC = ID (vì I là trung điểm của CD)

Nên H là trung điểm cạnh EF

Suy ra IH là đường trung bình của hình thang DCEF

\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) (1)

Vì C là tâm hình vuông AMNP nên \(CA=CM\) (tính chất) và \(\widehat{ACM}=90^0\)

⇒ ∆ CAM là tam giác vuông cân tại C

Lại có CE ⊥ AM hay CE là đường cao của tam giác cân CAM

⇒ CE cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ CE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Vì D là tâm hình vuông BMLK nên \(DB=DM\) (tính chất) và \(\widehat{MDB}=90^0\)

⇒ ∆ DBM vuông cân tại D

Có DF ⊥ BM nên DF là đường cao của tam giác cân DBM

⇒ DF cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Vậy CE + DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM + \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM

= \(\displaystyle {1 \over 2}\) (AM + BM) = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB = \(\displaystyle {a \over 2}\)

Từ (1) ta suy ra: 

\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) \(=\displaystyle {{\displaystyle {a \over 2}} \over 2} = {a \over 4}\)

b. Gọi Q là giao điểm của BL và AN

Ta có: AN ⊥ MP (2) (tính chất hình vuông APNM)

BL ⊥ MK (3) (tính chất hình vuông BMLK)

Lại có: \(\widehat {PMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMN} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do APNM là hình vuông nên MP là phân giác góc AMN) 

\(\widehat {KMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {BML} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do BMLK là hình vuông nên MK là phân giác góc BML) 

\( \Rightarrow \widehat {PMK} = \widehat {PMN} + \widehat {NMK} \)\(= {45^0} + {45^0} = {90^0}\)

Suy ra MP ⊥ MK (4)

Từ (2), (3) và (4) suy ra BL ⊥ AN

Lại có \(\widehat {QAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {MAP} \)\(= \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do APNM là hình vuông)

⇒ ∆ QAB vuông cân tại Q cố định. 

Khi M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng \(\displaystyle {a \over 4}\)  nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\)

Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ 

Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ

Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\) .